実数 \(a\) に対し, 不等式 \[ y \leqq 2ax -a^2 +2a +2 \] の表す座標平面上の領域を \(D(a)\) とおく.
(1) \(-1 \leqq a \leqq 2\) を満たすすべての \(a\) に対し \(D(a)\) の点となるような点 \((p,q)\) の範囲を図示せよ.
(2) \(-1 \leqq a \leqq 2\) を満たすいずれかの \(a\) に対し \(D(a)\) の点となるような点 \((p,q)\) の範囲を図示せよ.
【 解 答 】
(1)
\[
y \leqq 2ax -a^2 +2a +2 \quad ... [1] \ .
\]
点 \((p,q)\) が [1] をみたすとき
\[
a^2 -2(p+1)a +q -2 \leqq 0 \quad ... [2] \ .
\]
[2] の右辺を \(a\) の関数とみなして, \(f(a)\) とおくと
\[
f(a) = \{ a-(p+1) \}^2 +q -p^2 -2p -3 \ .
\]
これは下に凸の \(2\) 次関数である.
[2] が \(-1 \leqq a \leqq 2\) において常に成立する条件は
\[\begin{align}
f(-1) \leqq 0 \ & \text{かつ} \ f(2) \leqq 0 \\
2p+q+1 \leqq 0 \ & \text{かつ} \ -4p+q-2 \leqq 0 \\
\text{∴} \quad q \leqq -2p-1 \ & \text{かつ} \ q \leqq 4p+2 \ .
\end{align}\]
よって, 求める領域は下図斜線部（境界含む）.
(2)
[2] が \(-1 \leqq a \leqq 2\) のいずれかで成立する条件は1* \(f(-1) \leqq 0\) または \(f(2) \leqq 0\)
2* \(f(-1) \gt 0\) , \(f(2) \gt 0\) , \(f(p+1) \leqq 0\) , \(-1 \leqq p+1 \leqq 2\)
のいずれかである.
1* のとき
(1) の途中経過より \[ q \leqq -2p-1 \ \text{または} \ q \leqq 4p+2 \ . \]2*のとき \[ q \gt -2p-1 , \ q \gt 4p+2 , \ q \leqq p^2 +2p +3 , \ -2 \leqq p \leqq 1 \ . \]
よって, 求める領域は下図斜線部（境界含む）.
