\(a\) を実数とする. 円 \(C\) は点 \((a, -a)\) で直線 \(y = -x\) を接線にもち, 点 \((0,1)\) を通るものとする. \(C\) の中心を P \((X,Y)\) として, 以下の問いに答えよ.
(1) \(X , Y\) を \(a\) を用いて表せ.
(2) \(a\) が動くときの点Pの軌跡と直線 \(y = 1\) で囲まれる図形の面積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
円 \(C\) は, 点 Pと点 \((1,0)\) を通るので \[\begin{align} (X-a)^2 +(Y+a)^2 & = X^2 +(Y-1)^2 \\ -2aX +a^2 +2aY +a^2 & = -2Y +1 \\ \text{∴} \quad 2aX -2(a+1)Y -2a^2 +1 & = 0 \quad ... [1] \ . \end{align}\] 点 P は接点 \((a, -a)\) を通る傾き \(1\) の直線上にあるので \[ Y = X-2a \quad ... [2] \ . \] [1] に [2] を代入して \[\begin{align} 2aX -2(a+1)(X-2a) -2a^2 +1 & =0 \\ -2X +4a^2 +4a -2a^2 +1 & = 0 \\ \text{∴} \quad X = \underline{a^2 +2a +\dfrac{1}{2}} & \ . \end{align}\] [2] より \[ Y = \underline{a^2 +\dfrac{1}{2}} \ . \]
(2)
(1) の結果より \[\begin{align} Y & = \left( \dfrac{X-Y}{2} \right)^2 +\dfrac{1}{2} \\ (X-Y)^2 & = 2(Y-2) \ . \end{align}\] 両辺の平方根をとって \[\begin{align} X-Y & = \pm \sqrt{2(2Y-1)} \\ \text{∴} \quad X & = Y \pm \sqrt{2(2Y-1)} \ . \end{align}\] \(Y = 1\) とおくと \[ a = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ . \] であり, このとき \[ X = 1 \pm \sqrt{2} \ . \] したがって, P の軌跡と直線 \(y=1\) に囲まれる図形は下図斜線部のようになる.
よって, 求める面積 \(S\) は \[ S = \displaystyle\int _ {1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}} (1-Y) \, dX \ . \] ここで, (1) の結果より \[ \dfrac{dX}{da} =2(a+1) \ . \] また \[ \begin{array}{c|ccc} x & 1-\sqrt{2} & \rightarrow & 1+\sqrt{2} \\ \hline a & -\dfrac{\sqrt{2}}{2} & \rightarrow & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \] なので \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( \dfrac{1}{2} -a^2 \right) \cdot 2(a+1) \, da \\ & = 2 \displaystyle\int _ {0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} ( 1 -2a^2 ) \, da \\ & = 2 \left[ a -\dfrac{2 a^3}{3} \right] _ {0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ & = \sqrt{2} \left( 1 -\dfrac{1}{3} \right) \\ & = \underline{\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}} \ . \end{align}\]