先生と \(3\) 人の生徒 A , B , C がおり, 玉の入った箱がある.
箱の中には最初, 赤玉 \(3\) 個, 白玉 \(7\) 個, 全部で \(10\) 個の玉が入っている.
先生がサイコロをふって, \(1\) の目が出たら A が, \(2\) または \(3\) の目が出たら B が, その他の目が出たら C が箱の中から \(1\) つだけ玉を取り出す操作を行う.
取り出した玉は箱の中に戻さず, 取り出した生徒のものとする.
この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ.
ただし, サイコロの \(1\) から \(6\) の目の出る確率は等しいものとし, また, 箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする.
(1) \(2\) 回目の操作が終わったとき, A が \(2\) 個の赤玉を手に入れている確率を求めよ.
(2) \(2\) 回目の操作が終わったとき, B が少なくとも \(1\) 個の赤玉を手に入れている確率を求めよ.
(3) \(3\) 回目の操作で, C が赤玉を取り出す確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(1\) 回目, \(2\) 回目ともに A が赤玉を手に入れればよいので, 求める確率は \[ \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{2}{9} = \underline{\dfrac{1}{540}} \ . \]
(2)
考えられる場合は以下の \(3\) 通りがある.
1* \(1\) 回目で B が赤玉を手に入れるときで, その確率は \[ \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{1}{10} \ . \]
2* \(1\) 回目で A か C が赤玉を手に入れ, \(2\) 回目で B が赤玉を手に入れるとき \[ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{135} \ . \]
3* \(1\) 回目で A か C が白玉を手に入れ, \(2\) 回目で B が赤玉を手に入れるとき \[ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{7}{270} \ . \]
以上より, 求める確率は \[ \dfrac{1}{10} +\dfrac{2}{135} +\dfrac{7}{270} =\underline{\dfrac{26}{135}} \ . \]
(3)
\(2\) 回目までに取り出される玉の組合せによって, \(3\) 通りに分けて考える.
1* \(2\) 回とも赤玉が取り出されて, \(3\) 回目で C が赤玉を手に入れる確率は \[ \dfrac{{} _ {3} \text{C} {} _ 2}{{} _ {10} \text{C} {} _ 2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{240} \ . \]
2* 赤玉と白玉が \(1\) 回ずつ取り出されて, \(3\) 回目で C が赤玉を手に入れる確率は \[ \dfrac{{} _ {3} \text{C} {} _ 1 \cdot {} _ {7} \text{C} {} _ 1}{{} _ {10} \text{C} {} _ 2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{8} = \dfrac{7}{120} \ . \]
3* \(2\) 回とも白玉が取り出されて, \(3\) 回目で C が赤玉を手に入れる確率は \[ \dfrac{{} _ {7} \text{C} {} _ 2}{{} _ {10} \text{C} {} _ 2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{7}{80} \ . \]
以上より, 求める確率は \[ \dfrac{1}{240} +\dfrac{7}{120} +\dfrac{7}{80} =\underline{\dfrac{3}{20}} \ . \]