\(a\) を実数, \(z\) を \(0\) でない複素数とする. \(z\) に共役な複素数を \(\overline{z}\) で表す.
(1) 次を満たす \(z\) を求めよ. \[ z -1 -\dfrac{a}{z} = 0 \]
(2) 次を満たす \(z\) が存在するような \(a\) の範囲を求めよ. \[ \overline{z} +1 -\dfrac{a}{z} = 0 \]
(3) 次を満たす \(z\) が存在するような \(a\) の範囲を求めよ. \[ z \left( \overline{z} \right)^2 +\overline{z} -\dfrac{a}{z} = 0 \]
【 解 答 】
(1)
\[ z -1 -\dfrac{a}{z} = 0 \ . \] \(z \neq 0 \quad ... [1]\) なので, 両辺に \(z\) を掛けて \[\begin{align} z^2 -z -a & = 0 \\ \text{∴} \quad z & = \dfrac{1 \pm \sqrt{4a+1}}{2} \ . \end{align}\] ただし, \(z=0\) となるとき \[\begin{align} 0^2 -0 -a & = 0 \\ \text{∴} \quad a & = 0 \ . \end{align}\] このときについては \[\begin{align} z^2 -z & = 0 \\ z(z-1) & = 0 \\ \text{∴} \quad z & = 1 \ . \end{align}\] よって \[ z = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 1 & ( \ a=0 \text{のとき} ) \\ \dfrac{1 \pm \sqrt{4a+1}}{2} & ( \ a \neq 0 \text{のとき} ) \end{array} \right.} \ . \]
(2)
\[\begin{align}
\overline{z} +1 -\dfrac{a}{z} & = 0 \\
\text{∴} \quad |z|^2 +z -a & = 0 \ .
\end{align}\]
\(z = x+yi\) （ \(x, y\) は実数, \(x^2+y^2 \neq 0\) ... [2] ）とおくと
\[\begin{align}
x^2+y^2+ x+yi -a & = 0 \\
\text{∴} \quad x^2+y^2+ x-a +yi & = 0 \ .
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
x^2+y^2+ x-a =0 & , \ y = 0 \\
x^2+x-a & = 0 \\
\text{∴} \quad \left( x+\dfrac{1}{2} \right)^2 -\dfrac{1}{4} & = a \quad ... [3] \ .
\end{align}\]
[2] とあわせると, \(x \neq 0\) .
したがって, [3] が \(x \neq 0\) である解をもつ条件を求めればよい.
よって \[ \underline{a \geqq -\dfrac{1}{4}} \ . \]
(3)
\[\begin{align} z \left( \overline{z} \right)^2 +\overline{z} -\dfrac{a}{z} & = 0 \\ \text{∴} \quad |z|^4+|z|^2-a & = 0 \ . \end{align}\] \(t = |z|^2 \ ( t \gt 0 )\) とおくと \[\begin{align} t^2+t-a & = 0 \\ \text{∴} \quad \left( t+\dfrac{1}{2} \right)^2 -\dfrac{1}{4} & = a \quad ... [4] \ . \end{align}\] [4] が \(t \gt 0\) に解をもつ条件を求めればよいので
\[ \underline{a \gt 0} \ . \]