袋 A , 袋 B のそれぞれに, \(1\) から \(N\) の自然数がひとつずつ書かれた \(N\) 枚のカードが入っている. これらのカードをよくかきまぜて取り出していく. 以下の問いに答えよ.
(1) \(N=4\) とする. 袋 A , B のそれぞれから同時に \(1\) 枚ずつカードを取り出し, 数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す. ただし, 取り出したカードは元には戻さないものとする. \(4\) 回のカードの取り出し操作が終わった後, 数字が一致していた回数を \(X\) とする. \(X=1 , \ X=2 , \ X=3 , \ X=4\) となる確率をそれぞれ求めよ. また, \(X\) の期待値を求めよ.
(2) \(N=3\) とし, \(n\) は自然数とする. 袋 A , B のそれぞれから同時に \(1\) 枚ずつカードを取り出し, カードの数字が一致していたら, それらのカードを取り除き, 一致していなかったら, 元の袋に戻すという操作を繰り返す. カードが初めて取り除かれるのが \(n\) 回目で起こる確率を \(p _ n\) とし, \(n\) 回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を \(q _ n\) とする. \(p _ n\) と \(q _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
袋 A からは \(1, 2, 3, 4\) のカードが順に取り出すと考えてよい.
\(X=k \ ( k= 0, 1, \cdots , 4 )\) となる確率を \(P(k)\) と表す.
袋 B からの取り出し方は, \(4 {!} =24\) 通りある.
1* \(X=4\) となるのは, \(1\) 通りしかないので \[ P(4) = \underline{\dfrac{1}{24}} \]
2* \(X=3\) となることはないので \[ P(3) = \underline{0} \]
3* \(X=2\) となるのは, 一致する数字の選び方が, \({} _ {4} \text{C} {} _ 2 = 6\) 通りあるので \[ P(2) = \dfrac{6}{24} = \underline{\dfrac{1}{4}} \]
4* \(X=1\) となるのは, 一致する数字の選び方が, \(4\) 通りあり, 一致しない数字の取り出し方は \(2\) 通りあるので \[ P(1) = \dfrac{4 \cdot 2}{24} = \underline{\dfrac{1}{3}} \]
5* \(X=0\) となるのは \[ P(0) = 1 -\left( \dfrac{1}{24} +\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{3}{8} \]
以上より, 求める期待値 \(E\) は \[\begin{align} E & = 4 \cdot \dfrac{1}{24} +3 \cdot 0 +2 \cdot \dfrac{1}{4} +1 \cdot \dfrac{1}{3} +0 \cdot \dfrac{3}{8} \\ & = \underline{1} \end{align}\]
(2)
袋 A , B に \(k\) 枚ずつカードが入っているとき, 数字が一致する確率は \(\dfrac{1}{k}\) である.
\(n\) 回目でカードが初めて取り除かれるのは, \(n\) 回目で初めて数字が一致するときなので
\[
p _ n = \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-1} \cdot \dfrac{1}{3} = \underline{\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-1}}
\]
\(n\) 回目（ \(n \geqq 3\) ）ですべてのカードが取り除かれるのは
\(k\) 回目（ \(1 \leqq k \leqq n-2\) ）で初めて数字が一致する.
\(n-1\) 回目で \(2\) 回目に数字が一致する.
\(n\) 回目で最後の数字が一致する（必ず一致する）.
となるときなので \[\begin{align} q _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-2} p _ k \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1-k} \\ & = \dfrac{1}{2^n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-2} \left( \dfrac{4}{3} \right)^{k} \\ & = \dfrac{1}{2^n} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\left( \frac{4}{3} \right)^{n-2} -1}{\frac{4}{3} -1} \\ & = \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-2} -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-2} \end{align}\] \(n = 1, 2\) のときは, 明らかに \(q _ n = 0\) なので, 以上をまとめて \[ q _ n = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( \ n = 1, 2 \text{のとき} \right) \\ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-2} -\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-2} & \left( \ n \geqq 3 \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]