数列 \(\{ a _ n \}\) を \[ a _ 1 = 1 , \ a _ {n+1} = \sqrt{\dfrac{3a _ n+4}{2a _ n+3}} \quad ( n=1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. 以下の問いに答えよ.
(1) \(n \geqq 2\) のとき, \(a _ n \gt 1\) となることを示せ.
(2) \(\alpha^2 = \dfrac{3 \alpha +4}{2 \alpha +3}\) を満たす正の実数 \(\alpha\) を求めよ.
(3) すべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ n \lt \alpha\) となることを示せ.
(4) \(0 \lt r \lt 1\) を満たすある実数 \(r\) に対して, 不等式 \[ \dfrac{\alpha -a _ {n+1}}{\alpha -a _ n} \leqq r \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] が成り立つことを示せ. さらに, 極限 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n=2\) のとき \[ a _ 2 = \sqrt{\dfrac{3+4}{2+3}} =\sqrt{\dfrac{7}{5}} \gt 1 \] なので, \(n=2\) のとき成立する.
2* \(n = k \ ( k \geqq 2 )\) のとき成立する, すなわち \[ a _ k \gt 1\quad ... [1] \] と仮定すると \[\begin{align} a _ {k+1} & = \sqrt{\dfrac{3}{2} -\dfrac{1}{2( 2a _ k +3 )}} \\ & \gt \sqrt{\dfrac{3}{2} -\dfrac{1}{2 \cdot 5}} \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = \sqrt{\dfrac{7}{5}} \gt 1 \ . \end{align}\] したがって, \(n=k+1\) のときも成立する.
以上より, \(n \geqq 2\) に対して \[ a _ n \gt 1 \]
(2)
\[\begin{align} \alpha^2 & =\dfrac{3 \alpha +4}{2 \alpha +3} \\ 2 \alpha^3 +3 \alpha^2 -3 \alpha -4 & = 0 \\ ( \alpha +1 )( 2 \alpha^2 +\alpha -4 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad \alpha = -1 , & \dfrac{-1 \pm \sqrt{33}}{4} \ . \end{align}\] \(\alpha \gt 0\) なので \[ \alpha = \underline{\dfrac{\sqrt{33} -1}{4}} \]
(3)
数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n=1\) のとき \[ \alpha -a _ 1 = \dfrac{\sqrt{33} -5}{4} \gt 0 \] なので, \(n=1\) のときは成立する.
2* \(n = k \ ( k \geqq 1 )\) のとき成立する, すなわち \[ \alpha -a _ k \gt 0 \quad ... [2] \] と仮定すると \[\begin{align} \alpha^2 -{a _ {k+1}}^2 & = \dfrac{3 \alpha +4}{2 \alpha +3} -\dfrac{3a _ k+4}{2a _ k+3} \\ & = \dfrac{\alpha -a _ k}{( 2 \alpha +3 )( 2a _ k+3 )} \\ & \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ [2] \ ) \quad ... [3] \ . \end{align}\] したがって, \(n=k+1\) のときも成立する.
以上より, すべての自然数 \(n\) に対して \[ a _ n \lt \alpha \]
(4)
[3] の途中経過より \[\begin{align} \alpha^2 -{a _ {k+1}}^2 & = \dfrac{\alpha -a _ k}{( 2 \alpha +3 )( 2a _ k+3 )} \\ \text{∴} \quad \dfrac{\alpha -a _ {k+1}}{\alpha -a _ k} & = \dfrac{1}{( \alpha +a _ {k+1} )( 2 \alpha +3 )( 2a _ k+3 )} \quad ... [4] \ . \end{align}\] [4] の右辺の分母について, \(1 \leqq a _ n \lt \alpha\) なので \[\begin{align} ( \alpha & +a _ {k+1} )( 2 \alpha +3 )( 2a _ k+3 ) \\ & \geqq ( 1+1 ) ( 2+3 ) ( 2+3 ) = 50 \ . \end{align}\] したがって, \(r = \dfrac{1}{50}\) とおけば \[ \dfrac{\alpha -a _ {k+1}}{\alpha -a _ k} \leqq r \] が成立する.ここから \[ \alpha -a _ {k+1} \leqq r ( \alpha -a _ k ) \] これを繰返し用いれば, (3) の結果とあわせて \[ 0 \lt \alpha -a _ n \leqq r ( \alpha -a _ {n-1} ) \leqq \cdots \leqq r^{n-1} ( \alpha -a _ 1 ) \] \(0 \lt r \lt 1\) なので \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} r^{n-1} ( \alpha -a _ 1 ) = 0 \] ゆえに, はさみうちの原理より \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} ( \alpha -a _ n ) & = 0 \\ \text{∴} \quad \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n = \alpha & = \underline{\dfrac{\sqrt{33} -1}{4}} \ . \end{align}\]