\(k\) を実数とする. \(3\) 次式 \(f(x) = x^3-kx^2-1\) に対し, 方程式 \(f(x) = 0\) の \(3\) つの解を \(\alpha , \beta , \gamma\) とする. \(g(x)\) は \(x^3\) の係数が \(1\) である \(3\) 次式で, 方程式 \(g(x) = 0\) の \(3\) つの解が \(\alpha \beta , \beta \gamma , \gamma \alpha\) であるものとする.
(1) \(g(x)\) を \(k\) を用いて表せ.
(2) \(2\) つの方程式 \(f(x) = 0\) と \(g(x) = 0\) が共通の解をもつような \(k\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(f(x) = 0\) が \(\alpha , \beta , \gamma\) を解にもつので, 解と係数の関係より \[ \left\{\begin{array}{l} \alpha +\beta +\gamma = 0 \\ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha = -k \\ \alpha \beta \gamma = 1 \end{array} \right. \quad ... [1] \ . \] \(\alpha' = \alpha \beta\) , \(\beta' = \beta \gamma\) , \(\gamma' = \gamma \alpha\) とおくと, [1] を用いて \[ \left\{\begin{array}{l} \alpha' +\beta' +\gamma' = \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha = -k \\ \alpha' \beta' +\beta' \gamma' +\gamma' \alpha' = \alpha \beta \gamma \left( \alpha +\beta +\gamma \right) = 0 \\ \alpha' \beta' \gamma' = \left( \alpha \beta \gamma \right)^2 = 1 \end{array} \right. \ . \] よって, \(g(x) = 0\) は \(\alpha' , \beta' , \gamma'\) を解にもち, \(x^3\) の係数が \(1\) なので, 解と係数の関係より \[ g(x) = \underline{x^3+kx^2-1} \ . \]
(2)
共通解を \(a\) とおくと
\[
\left\{\begin{array}{l} f(a) = a^3-ka-1 = 0 \\ g(a) = a^3+ka-1 = 0 \end{array} \right. \ .
\]
したがって
\[\begin{align}
a^3-ka-1 & = a^3+ka-1 \\
ka(a+1) & = 0 \\
\text{∴} \quad k = 0 , \ a & = 0 , -1 \ .
\end{align}\]
であることが必要である.
それぞれの場合について, 共通解があるかを確認する.
1* \(k = 0\) のとき \[ f(x) = g(x) = x^3-1 \ . \] なので, 共通解をもつ.
2* \(a = 0\) のとき \[ f(0) = g(0) = -1 \neq 0 \ . \] なので, 共通解は存在しない.
3* \(a = -1\) のとき \[\begin{align} f(-1) = g(-1) & = k-2 = 0 \\ \text{∴} \quad k & = 2 \ . \end{align}\] このとき, 確かに \(x = -1\) が共通解となる.
以上より, 求める \(k\) の値は \[ k = \underline{0 , 2} \ . \]