不等式 \(1 \leqq x^2+y^2 \leqq 4\) が表す \(xy\) 平面内の領域を \(D\) とする. P を円 \(x^2+y^2 = 1\) 上の点, Q と R を円 \(x^2+y^2 = 4\) 上の異なる \(2\) 点とし, 三角形 PQR は領域 \(D\) に含まれているとする. \(a , b\) を実数とし, 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換により P は P' , Q は Q' , R は R' に移される. このとき ,三角形 P'Q'R' が領域 \(D\) に含まれるための \(a , b\) の必要十分条件を求めよ. ただし, 三角形は内部も含めて考えるものとする.

【 解 答 】

P \(( 1 , 0 )\) , Q \(\left( \dfrac{3}{2} , \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)\) , R \(\left( \dfrac{3}{2} , -\dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)\) の場合を考える.
このとき, △PQR は 領域 \(D\) に含まれている.
P' の座標は \[ \left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ . \] これが, 領域 \(D\) に含まれるので \[ 1 \leqq a^2 +b^2 \leqq 4 \quad ... [1] \ . \] また, Q' , R' の座標は \[ \left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dfrac{3}{2} \\ \pm \dfrac{\sqrt{7}}{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \dfrac{3a \mp \sqrt{7} b}{2} \\ \dfrac{3b \pm \sqrt{7} a}{2} \end{array} \right) \ . \] これも, 領域 \(D\) に含まれるので \[\begin{align} 1 \leqq \left( \dfrac{3a \mp \sqrt{7} b}{2} \right)^2 & +\left( \dfrac{3b \pm \sqrt{7} a}{2} \right)^2 \leqq 4 \\ 1 \leqq 4 a^2 & +4 b^2 \leqq 4 \\ \text{∴} \quad \dfrac{1}{4} \leqq a^2 & +b^2 \leqq 1 \quad ... [2] \ . \end{align}\] [1] [2] より \[ a^2 +b^2 = 1 \quad ... [3] \ . \] であることが必要である.
このとき, \(a = \cos \theta\) , \(b = \sin \theta\) とおくことができて \[ A = \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \ . \] なので, \(A\) は原点を中心にした角 \(\theta\) の回転を表す.
領域 \(D\) の境界は, 原点を中心とする円なので, △PQR が領域 \(D\) に含まれれば, △P'Q'R' も領域 \(D\) に含まれる.
したがって, [3] は十分条件でもある.
よって, 求める条件は \[ \underline{a^2 +b^2 = 1} \ . \]