以下の問いに答えよ.
(1) \(n\) を自然数, \(a\) を正の定数として, \[ f(x) = (n+1) \left\{ \log (a+x) -\log (n+1) \right\} -n \left( \log a -\log n \right) -\log x \] とおく. \(x \gt 0\) における関数 \(f(x)\) の極値を求めよ. ただし, 対数は自然対数とする.
(2) \(n\) が \(2\) 以上の自然数のとき, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{k+1}{k} \gt (n+1)^{\frac{1}{n}} \]
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} f'(x) & = \dfrac{n+1}{a+x} -\dfrac{1}{x} \\ & = \dfrac{(n+1) x -(a+x)}{x (a+x)} \\ & = \dfrac{nx -a}{x (a+x)} \ . \end{align}\] \(f'(x) = 0\) をとくと \[ x =\dfrac{a}{n} \ . \] したがって, \(f(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|cccc} x & (0) & \cdots & \dfrac{a}{n} & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} \] よって, 求める極値は \[\begin{align} f \left( \dfrac{a}{n} \right) & = (n+1) \left\{ \log \dfrac{a (n+1)}{n} -\log (n+1) \right\} \\ & \qquad -n \log \dfrac{a}{n} -\log \dfrac{a}{n} \\ & = \underline{0} \ . \end{align}\]
(2)
(1) の結果より, \(f(x) \geqq 0\) なので \[\begin{align} \log \left( \dfrac{a+x}{n+1} \right)^{n+1} -\log & \left( \dfrac{a}{n} \right)^n x \geqq 0 \\ \text{∴} \quad \left( \dfrac{a+x}{n+1} \right)^{n+1} & \geqq \left( \dfrac{a}{n} \right)^n x \quad ... [1] \ . \end{align}\] 示したい不等式 \[ \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{k+1}{k} \gt (n+1)^{\frac{1}{n}} \quad ... [ \text{A} ] \] が, \(2\) 以上の自然数 \(n\) について成立することを, 数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n = 2\) のとき \[\begin{align} \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2}{1} +\dfrac{3}{2} \right) & = \dfrac{7}{4} \ , \\ ( 2 +1 )^{\frac{1}{2}} & = \sqrt{3} \ . \end{align}\] \(\left( \dfrac{7}{4} \right)^2 = \dfrac{49}{16} \gt 3\) なので, [A] が成立する.
2* \(n = m \ ( m \geqq 2 )\) のとき
[A] が成立すると仮定すると \[\begin{align} \dfrac{1}{m} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^m \dfrac{k+1}{k} & \gt (m+1)^{\frac{1}{m}} \\ \text{∴} \quad \textstyle\sum\limits _ {k=1}^m \dfrac{k+1}{k} & \gt m (m+1)^{\frac{1}{m}} \ . \end{align}\] したがって, このとき \[ \left( \dfrac{1}{m+1} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m+1} \dfrac{k+1}{k} \right)^{m+1} \gt \left\{ \dfrac{m (m+1)^{\frac{1}{m}} +\frac{m+2}{m+1}}{m+1} \right\}^{m+1} \quad ... [2] \ . \] ここで, \(a = m (m+1)^{\frac{1}{m}}\) , \(x = \dfrac{m+2}{m+1}\) , \(n = m\) とおいて, [1] を用いれば \[ [2] \geqq \left\{ \dfrac{m (m+1)^{\frac{1}{m}}}{m} \right\}^m \dfrac{m+2}{m+1} = m+2 \ . \] したがって \[ \dfrac{1}{m+1} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m+1} \dfrac{k+1}{k} \gt (m+2)^{\frac{1}{m+1}} \ . \] ゆえに, \(n = m+1\) のときも [A] が成立する.
以上より, 題意は示された.