\(t \gt 0\) を実数とする. 座標平面において, \(3\) 点 A \(( -2 , 0 )\) , B \(( 2 , 0 )\) , C \(( t , \sqrt{3} t )\) を頂点とする三角形 ABP を考える.

1. (1)　三角形 ABP が鋭角三角形となるような \(t\) の範囲を求めよ.

2. (2)　三角形 ABP の垂心の座標を求めよ.

3. (3)　辺 AB , BP , PA の中点をそれぞれ M, Q, R とおく. \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, 三角形 ABP を線分 MQ , QR , RM で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と, そのときの \(t\) の値を求めよ. ,

【 解 答 】

(1)

条件より, \(\angle \text{A}\) が鈍角になることはない.

• \(\angle \text{B}\) が鈍角になるとき
  点 P が直線 \(x = 2\) より右側にあるときなので \[ t \gt 2 \ . \]

• \(\angle \text{P}\) が鈍角になるとき
  円周角の定理から, 点 P が AB を直径とする円の内部にあるときで \[ 0 \lt t \lt 1 \]

以上より, 求める条件は \[ \underline{1 \leqq t \leqq 2} \ . \]

(2)

垂心を H とおくと, PH と \(x\) 軸は垂直なので, H \(( t , s )\) とおける. \[\begin{align} \overrightarrow{\text{AP}} & = ( t+2 , \sqrt{3} ) , \\ \overrightarrow{\text{BH}} & = ( t-2 , s ) \ . \end{align}\] \(\overrightarrow{\text{AP}} \perp \overrightarrow{\text{BH}}\) なので \[\begin{align} \overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{BH}} & = t^2 -4 +\sqrt{3} ts = 0 \\ \text{∴} \quad & s = \dfrac{4 -t^2}{\sqrt{3} t} \ . \end{align}\] よって \[ \text{H} \ \underline{\left( t , \dfrac{4 -t^2}{\sqrt{3} t} \right)} \ . \]

(3)

四面体の M, Q, R 以外の頂点を T とする.
中線連結定理より, 折り目は各辺と平行であるから, QR を折り曲げると, 点 P は PH を含み \(xy\) 平面に垂直な平面上を動く.
点 A, B についても同様に考えれば, 点 T は 点 H を通り \(xy\) 平面に垂直な直線上にあるといえる.
\(\text{TH} = h\) とおいて, \(\triangle \text{MHT}\) に着目すれば, 三平方の定理より \[\begin{align} h^2 & = \text{AM}^2 -\text{MH}^2 \\ & = 2^2 -t^2 -\dfrac{( 4 -t^2 )^2}{3 t^2} \\ & = \dfrac{( 4 -t^2 ) ( 3t^2 -4 +t^2 )}{3 t^2} \\ & = \dfrac{4 ( 4 -t^2 ) ( t^2 -1 )}{3 t^2} \ . \end{align}\] また \[\begin{align} \triangle \text{MQR} & = \dfrac{1}{4} \triangle \text{ABP} \\ & = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \sqrt{t} = \dfrac{\sqrt{3} t}{2} \ . \end{align}\] したがって, 四面体の体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3} t}{2} \cdot \dfrac{2 \sqrt{( 4 -t^2 ) ( t^2 -1 )}}{\sqrt{3} t} \\ & = \dfrac{1}{3} \sqrt{-t^4 +5t^2 -4} \\ & = \dfrac{1}{3} \sqrt{-\left( t^2 -\dfrac{5}{2} \right)^2 +\dfrac{9}{4}} \\ & \leqq \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2} \ . \end{align}\] すなわち, 求める最大値は \[ \underline{\dfrac{1}{2}} \ . \] このときの \(t\) の値は \[ t = \sqrt{\dfrac{5}{2}} = \underline{\dfrac{\sqrt{10}}{2}} \ . \]