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\(k \geqq 2\) と \(n\) を自然数とする. \(n\) が \(k\) 個の連続する自然数の和であるとき, すなわち \[ n = m +(m+1) +\cdots +(m+k-1) \] が成り立つような自然数 \(m\) が存在するとき, \(n\) を \(k -\text{連続和}\) と呼ぶことにする. ただし, 自然数とは \(1\) 以上の整数のことである.

1. (1)　\(n\) が \(k -\text{連続和}\) であることは, 次の条件 (A) , (B) の両方が成り立つことと同値であることを示せ.

   1. (A)　\(\dfrac{n}{k} -\dfrac{k}{2} +\dfrac{1}{2}\) は整数である.

   2. (B)　\(2n \gt k^2\) が成り立つ.

2. (2)　\(f\) を自然数とする. \(n = 2^f\) のとき, \(n\) が \(k -\text{連続和}\) となるような自然数 \(k \geqq 2\) は存在しないことを示せ.

3. (3)　\(f\) を自然数とする. \(p\) を \(2\) でない素数とする. \(n = p^f\) のとき, \(n\) が \(k -\text{連続和}\) となるような自然数 \(k \geqq 2\) の個数を求めよ.

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【 解 答 】

(1)

(P)：「 \(n\) が \(k - \text{連続和}\) である. 」とおく.

• \((\text{P}) \Rightarrow (\text{A}) , (\text{B})\) の証明
  (P) より \[\begin{align} n & = mk +1 +2 + \cdots +(n-1) \\ & = mk +\dfrac{(k-1) k}{2} \quad ... [1] \ . \end{align}\] [1] の両辺を \(k\) で割れば \[\begin{align} \dfrac{n}{k} & = m +\dfrac{k-1}{2} \\ \text{∴} \quad \dfrac{n}{k} & -\dfrac{k}{2} +\dfrac{1}{2} = m \ . \end{align}\] したがって, (A) が成立する.
  また, [1] を用いれば \[\begin{align} 2n & = 2mk +k^2 -k \\ & = k^2 +k (2m-1) \\ & \gt k^2 \quad ( \ \text{∵} \ 2m-1 \gt 0 \ ) \ . \end{align}\] ゆえに, (B) が成立する.

• \((\text{A}) , (\text{B}) \Rightarrow (\text{P})\) の証明
  (A) より, \(\dfrac{n}{k} -\dfrac{k}{2} +\dfrac{1}{2} = M\) （ \(M\) は整数）とおける.
  (B) より, \(\dfrac{n}{k} \gt \dfrac{k}{2}\) なので \[ M \gt \dfrac{1}{2} \ . \] つまり, \(M\) は自然数である.
  また \[\begin{align} n & -\dfrac{(k-1) k}{2} = kM \\ \text{∴} \quad n & = kM +1 +2 + \cdots +(n-1) \\ & = M +(M+1) +(M+2) + \cdots +(M+n-1) \ . \end{align}\] したがって, (P) が成立する.

以上より, 題意は示された.

(2)

背理法を用いて示す.
条件を満たす \(k \geqq 2\) があるならば, [1] より \[\begin{align} 2^f & = mk +\dfrac{(k-1) k}{2} \\ \text{∴} \quad 2^{f+1} & = k ( k +2m -1 ) \ . \end{align}\] \(2m -1\) は奇数なので, \(k\) と \(k +2m -1\) は奇偶が異なる.
また, \(k \lt k +2m -1\) なので \[ k = 1 , \ k +2m -1 = 2^{f+1} \ . \] これは, \(k \geqq 2\) を満たさないので, 不適.
よって, 題意は示された.

(3)

[1] より \[\begin{align} p^f & = mk +\dfrac{(k-1) k}{2} \\ \text{∴} \quad 2 p^f & = k ( k +2m -1 ) \ . \end{align}\] \(k \ ( \geqq 2 )\) と \(k +2m -1 \ ( \geqq 3 )\) は奇偶が異なり, \(p\) が奇数の素数であることから \[\begin{align} ( k , k+2m-1 ) & = \left\{ \begin{array}{ll} \left( p^g , 2 p^{f-g} \right) & ( \ k \ \text{が奇数のとき} \ ) \\ \left( 2 p^{g-1} , p^{f-g+1} \right) & ( \ k \ \text{が偶数のとき} \ ) \end{array} \right. \\ & ( \ \text{ただし} \ g = 1 , 2 ,\cdots , f ) \ . \end{align}\] これをみたす \(k\) は \(2f\) 個あるが, どの場合も \(k \neq k +2m -1\) （ ∵ 奇偶が異なる. ）なので, このうち \(k \lt k +2m -1\) をみたすものは, \(\dfrac{2f}{2} = f\) 個である.
よって, 求める個数は \[ \underline{f \quad \text{個}} \ . \]