\(n\) と \(k\) を正の整数とし, \(P(x)\) を次数が \(n\) 以上の整式とする. 整式 \((1+x)^k P(x)\) の \(n\) 次以下の項の係数がすべて整数ならば, \(P(x)\) の \(n\) 次以下の項の係数はすべて整数であることを示せ. ただし, 定数項については, 項それ自身を係数とみなす.

【 解 答 】

\(P(x) = a _ m x^m + \cdots +a _ n x^n + \cdots + a _ 1 x +a _ 0\) （ \(m\) は \(n\) 以上の整数）とおく.
また \[\begin{align} Q _ k (x) & = (1+x)^k P(x) \\ & = b _ {k, m+k} (k) x^{m+k} + \cdots + b _ {k, n} + \cdots + b _ {k, 1} x + b _ {k, 0} \end{align}\] とおく.
ここで \[\begin{align} Q _ k (x) & = (1+x) Q _ {k-1} (x) \\ & = (1+x) \left( \cdots + b _ {k-1, n} x^n + b _ {k-1, n-1} x^{n-1} + \cdots + b _ {k-1, 1} x +b _ {k-1, 0} \right) \\ & = \cdots +( b _ {k-1, n} +b _ {k-1, n-1} ) x^n + \cdots +( b _ {k-1, 1} +b _ {k-1, 0} ) x +b _ {k-1, 0} \end{align}\] 条件より \[ b _ {k,n} = b _ {k-1,n} +b _ {k-1,n-1} , \cdots , b _ {k,1} = b _ {k-1,1}+b _ {k-1,0} , \ b _ {k,0} = b _ {k-1,0} \] はすべて整数なので, \(b _ {k-1,0} , b _ {k-1,1} , \cdots , b _ {k-1,n}\) もすべて整数である.
これを繰返し用いれば, \(b _ {0,0} , b _ {0,1} , \cdots , b _ {0,n}\) すなわち \(a _ 0 , a _ 1 , \cdots , a _ n\) はすべて整数である.
よって, 題意は示された.