以下の問いに答えよ.
(1) 実数 \(a\) に対し, \(2\) 次の正方行列 \(A , P , Q\) が, \(5\) つの条件 \(A = a P +(a+1) Q\) , \(P^2 = P\) , \(Q^2 = Q\) , \(PQ = O\) , \(QP = O\) をみたすとする. ただし, \(O = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) である. このとき, \((P+Q) A = A\) が成り立つことを示せ.
(2) \(a\) は正の数として, 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 1 & a+1 \end{array} \right)\) を考える. この \(A\) に対し, (1) の \(5\) つの条件をすべてみたす行列 \(P , Q\) を求めよ.
(3) \(n\) を \(2\) 以上の整数とし, \(2 \leqq k \leqq n\) をみたす整数 \(k\) に対して \(A _ k = \left( \begin{array}{cc} k & 0 \\ 1 & k+1 \end{array} \right)\) とおく. 行列の積 \(A _ {n} A _ {n-1} A _ {n-2} \cdots A _ {2}\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件を用いれば \[\begin{align} (P+Q) A & = (P+Q) \left\{ aP +(1-a)Q \right\} \\ & = a P^2 +(1-a) Q^2 \quad ( \ \text{∵} \ PQ =QP =O \ ) \\ & = aP +(1-a)Q \quad ( \ \text{∵} \ P^2=P , \ Q^2=Q \ ) \\ & = A \end{align}\]
(2)
(1) の結果より \[\begin{align} P+Q & = E \\ \text{∴} \quad Q & = E-P \end{align}\] \(P = \left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \right)\) とおけば \[ Q = \left( \begin{array}{cc} 1-p & -q \\ -r & 1-s \end{array} \right) \] なので \[\begin{align} \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 1 & a+1 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{cc} ap +(a+1)(1-p) & aq -(a+1)q \\ ar-(a+1)r & as+(a+1)(1-s) \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} a+1-p & -q \\ -r & a+1-s \end{array} \right) \end{align}\] 各成分を比較すれば \[ p=1 , \ q=0 , \ r =-1 , \ s =0 \] よって \[ P =\underline{\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{array} \right)} , \ Q = \underline{\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right)} \]
(3)
\(A _ k = kP +(k+1)Q\) とおいて掛け合わせれば \[\begin{align} A _ n \cdots A _ 3 A _ 2 & = n \cdots 3 \cdot 2 P^{n-1} +(n+1) \cdots 4 \cdot 3 Q^{n-1} \\ & = n! P +\dfrac{(n+1) !}{2} Q \\ & =\left( \begin{array}{cc} n ! & 0 \\ -n ! +\dfrac{(n+1) !}{2} & \dfrac{(n+1) !}{2} \end{array} \right) \\ & =\underline{\left( \begin{array}{cc} n ! & 0 \\ -\dfrac{(n-1) n !}{2} & \dfrac{(n+1) !}{2} \end{array} \right)} \\ \end{align}\]