以下の問いに答えよ.
(1) \(0 \lt x \lt a\) をみたす実数 \(x , a\) に対し, 次を示せ. \[ \dfrac{2x}{a} \lt \displaystyle\int _ {a-x}^{a+x} \dfrac{1}{t} \, dt \lt x \left( \dfrac{1}{a+x} +\dfrac{1}{a-x} \right) \]
(2) (1) を利用して, 次を示せ. \[ 0.68 \lt \log 2 \lt 0.71 \] ただし, \(\log 2\) は \(2\) の自然対数を表す.
【 解 答 】
(1)
A \(\left( a , \dfrac{1}{a}\right)\) , B \(\left( a-x , \dfrac{1}{a-x}\right)\) , C \(\left( a+x , \dfrac{1}{a+x}\right)\) とおく.
直線 BC の式を \(y = f(t)\) , 点 A における \(y =\dfrac{1}{t}\) の接線の式を \(y = g(t)\) とおけば,
\(y =\dfrac{1}{t}\) は下に凸なので, \(a-x \lt t \lt a+x\) において
\[
g(t) \lt \dfrac{1}{t} \lt f(t) \quad ... [1]
\]
ここで
\[\begin{align}
f(t) & = \dfrac{\frac{1}{a+x} -\frac{1}{a-x}}{2x} ( t -x-a ) +\dfrac{1}{a+x} \\
& = \dfrac{-(t-x-a) +(a-x)}{(a+x)(a-x)} \\
& = \dfrac{2a-t}{(a+x)(a-x)}
\end{align}\]
\[\begin{align}
g(t) & = -\dfrac{1}{a^2} (t-a) +\dfrac{1}{a} \\
& = -\dfrac{2a-t}{a^2}
\end{align}\]
したがって, [1] の辺々を \(t\) について \(a-x \rightarrow a+x\) で積分すれば
\[\begin{align}
\displaystyle\int _ {a-x}^{a+x} (2a-t) \, dt & = \left[ 2at - \dfrac{t^2}{2} \right] _ {a-x}^{a+x} \\
& = 4ax -\dfrac{(a+x)^2 -(a-x)^2}{2} \\
& = 2ax
\end{align}\]
なので
\[\begin{align}
\dfrac{2ax}{a^2} & \lt \displaystyle\int _ {a-x}^{a+x} \dfrac{1}{t} \, dt \lt \dfrac{2ax}{(a+x)(a-x)} \\
\text{∴} \quad \dfrac{2x}{a} & \lt \displaystyle\int _ {a-x}^{a+x} \dfrac{1}{t} \, dt \lt x \left( \dfrac{1}{a-x} +\dfrac{1}{a+x} \right)
\end{align}\]
(2)
\[\begin{align} \displaystyle\int _ {a-x}^{a+x} \dfrac{1}{t} \, dt & = \left[ \log t \right] _ {a-x}^{a+x} \\ & = \log \dfrac{a+x}{a-x} \end{align}\] \(h = \dfrac{x}{a}\) とおくと, (1) の結果は \[ 2h \lt \log \dfrac{1+h}{1-h} \lt \dfrac{h}{1-h} +\dfrac{h}{1+h} \quad ... [2] \] ここで, \(\dfrac{a+x}{a-x} = \sqrt{2}\) となる場合を考えると \[\begin{align} a+x & = \sqrt{2} (a-x) \\ \text{∴} \quad h & = \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = 3 -2 \sqrt{2} \end{align}\] このとき, \(1.414 \lt \sqrt{2} \lt 1.415\) であることを用いれば \[\begin{align} 2h & = 6 -4 \sqrt{2} \\ & \gt 6 -4 \cdot 1.415 = 0.34 \end{align}\] \[\begin{align} \dfrac{h}{1-h} +\dfrac{h}{1+h} & = \dfrac{3 -2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} -2} +\dfrac{3 -2 \sqrt{2}}{4 -2 \sqrt{2}} \\ & = \dfrac{1}{2} \left\{ \left( 3 -2 \sqrt{2} \right) \left( \sqrt{2} +1 \right) +\dfrac{\left( 3 -2 \sqrt{2} \right) \left( 2 +\sqrt{2} \right)}{2} \right\} \\ & = \dfrac{2 \left( \sqrt{2} -1 \right) +2 -\sqrt{2}}{4} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \gt \dfrac{1.414}{4} = 0.3535 \end{align}\] したがって, [2] より \[\begin{align} 0.34 & \lt \dfrac{1}{2} \log 2 \lt 0.3535 \\ \text{∴} \quad 0.68 & \lt \log 2 \lt 0.707 \end{align}\] よって, 題意は示された.