自然数 \(m \geqq 2\) に対し, \(m-1\) 個の二項係数 \[ {} _ {m} \text{C} {} _ {1} , {} _ {m} \text{C} {} _ {2} , \cdots , {} _ {m} \text{C} {} _ {m-1} \] を考え, これらのすべての最大公約数を \(d _ m\) とする. すなわち \(d _ m\) はこれらすべてを割り切る最大の自然数である.
(1) \(m\) が素数ならば, \(d _ m=m\) であることを示せ.
(2) すべての自然数 \(k\) に対し, \(k^m-k\) が \(d _ m\) で割り切れることを, \(k\) に関する数学的帰納法によって示せ.
(3) \(m\) が偶数のとき \(d _ m\) は \(1\) または \(2\) であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\({} _ m \text{C} {} _ 1 =m\) なので, \(d _ m =1 , m\) のいずれかである.
\[
{} _ m \text{C} {} _ k = \dfrac{m!}{(m-k)! k!}
\]
は自然数であり, \(1 \leqq k \leqq m-1\) だから, 右辺の分母は \(m\) の倍数ではないので, \({} _ m \text{C} {} _ k\) は \(m\) の倍数である.
よって
\[
d _ m = m
\]
(2)
「 \(k^m-k\) が \(d _ m\) で割り切れる」... [＊]
1* \(k=1\) のとき
\(1^m-1 =0\) なので, [＊] は成立する.2* \(k= \ell\) のとき, [＊] が成立すると仮定すると \[\begin{align} (\ell +1)^m -(\ell +1) & = {\ell}^m +1 +\textstyle\sum\limits _ {i=1}^{m-1} {} _ m \text{C} {} _ i {\ell}^i -(\ell +1) \\ & = {\ell}^m-\ell +\textstyle\sum\limits _ {i=1}^{m-1} {} _ m \text{C} {} _ i {\ell}^i \end{align}\] 仮定より, これも \(d _ m\) で割り切れるので, \(k=\ell +1\) のときも[＊]が成立する.
1* 2* より, 数学的帰納法よりすべての自然数 \(k\) について, [＊]が成立する.
(3)
\(k =d _ m-1\) とおくと
\[\begin{align}
k^m-k & = (d _ m-1)^m -(d _ m-1) \\
& ={d _ m}^m +1 +\textstyle\sum\limits _ {i=1}^{m-1} {} _ m \text{C} {} _ i (-d _ m)^i -d _ m+1 \\
& = \left\{ {d _ m}^m -d _ m +\textstyle\sum\limits _ {i=1}^{m-1} {} _ m \text{C} {} _ i (-d _ m)^i \right\} +2
\end{align}\]
(2) の結果より, これは \(d _ m\) で割り切れるのだから, \(2\) は \(d _ m\) で割り切れる.
よって
\[
d _ m= 1, 2
\]