スイッチを \(1\) 回押すごとに, 赤, 青, 黄, 白のいずれかの色の玉が \(1\) 個, 等確率 \(\dfrac{1}{4}\) で出てくる機械がある. \(2\) つの箱 L と R を用意する. 次の \(3\) 種類の操作を考える.
(A) \(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉を L に入れる.
(B) \(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉を R に入れる.
(C) \(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉と同じ色の玉が, L になければその玉を L に入れ, L にあればその玉を R に入れる.
(1) L と R は空であるとする. 操作 (A) を \(5\) 回おこない, さらに操作 (B) を \(5\) 回おこなう. このとき L にも R にも \(4\) 色すべての玉が入っている確率 \(\text{P} {} _ 1\) を求めよ.
(2) L と R は空であるとする. 操作 (C) を \(5\) 回おこなう. このとき L に \(4\) 色すべての玉が入っている確率 \(\text{P} {} _ 2\) を求めよ.
(3) L と R は空であるとする. 操作 (C) を \(10\) 回おこなう. このとき L にも R にも \(4\) 色すべての玉が入っている確率を \(\text{P} {} _ 3\) とする. \(\dfrac{\text{P} {} _ 3}{\text{P} {} _ 1}\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
前半 \(5\) 回, 後半 \(5\) 回について, \(4\) 色のうちの \(1\) 色が \(2\) 回, 他の \(3\) 色が \(1\) 回ずつ出る場合なので \[\begin{align} \text{P} {} _ 1 & = \left\{ {} _ 4 \text{C} {} _ 1 \cdot {} _ 5 \text{C} {} _ 2 \cdot 3! \left( \dfrac{1}{4} \right)^5 \right\}^2 \\ & = \dfrac{240^2}{4^{10}} =\underline{\dfrac{225}{4096}} \end{align}\]
(2)
(1) の前半 \(5\) 回についてと同じ場合なので \[ \text{P} {} _ 2 = \underline{\dfrac{15}{64}} \]
(3)
確率を求めたい事象には, 以下の \(2\) つの場合が考えられる.
\(1\) 色が \(4\) 回, 他の \(3\) 色が \(2\) 回ずつ出る.
\(2\) 色が \(3\) 回ずつ, 他の \(2\) 色が \(2\) 回ずつ出る.
したがって \[\begin{align} \text{P} {} _ 3 & = {} _ 4 \text{C} {} _ 1 \cdot {} _ {10} \text{C} {} _ 4 \cdot {} _ 6 \text{C} {} _ 2 \cdot {} _ 4 \text{C} {} _ 2 \left( \dfrac{1}{4} \right)^{10} \\ & \qquad +{} _ 4 \text{C} {} _ 2 \cdot {} _ {10} \text{C} {} _ 3 \cdot {} _ 7 \text{C} {} _ 3 \cdot {} _ 4 \text{C} {} _ 2 \left( \dfrac{1}{4} \right)^{10} \\ & = \dfrac{2100 \cdot 108}{4^{10}} \end{align}\] よって \[ \dfrac{\text{P} {} _ 3}{\text{P} {} _ 1} = \dfrac{2100 \cdot 108}{240^2} =\underline{\dfrac{63}{16}} \]