平面上の \(2\) 点 P , Q の距離を \(d( \text{P} , \text{Q} )\) と表すことにする. 平面上に点 O を中心とする一辺の長さが \(1000\) の正三角形 \(\triangle \text{A} {} _ 1 \text{A} {} _ 2 \text{A} {} _ 3\) がある. \(\triangle \text{A} {} _ 1 \text{A} {} _ 2 \text{A} {} _ 3\) の内部に \(3\) 点 \(\text{B} {} _ 1 , \text{B} {} _ 2 , \text{B} {} _ 3\) を, \(d( \text{A} {} _ n , \text{B} {} _ n ) = 1 \quad ( n=1, 2, 3 ) \) となるようにとる. また, \[\begin{align} \overrightarrow{a _ 1} & = \overrightarrow{\text{A} {} _ 1 \text{A} {} _ 2} , \quad \overrightarrow{a _ 2} = \overrightarrow{\text{A} {} _ 2 \text{A} {} _ 3} , \quad \overrightarrow{a _ 3} = \overrightarrow{\text{A} {} _ 3 \text{A} {} _ 1} , \\ \overrightarrow{e _ 1} & = \overrightarrow{\text{A} {} _ 1 \text{B} {} _ 1} , \quad \overrightarrow{e _ 2} = \overrightarrow{\text{A} {} _ 2 \text{B} {} _ 2} , \quad \overrightarrow{e _ 3} = \overrightarrow{\text{A} {} _ 3 \text{B} {} _ 3} \end{align}\] とおく. \(n=1, 2, 3\) のそれぞれに対して, 時刻 \(0\) に \(\text{A} {} _ n\) を出発し, \(\overrightarrow{e _ n}\) の向きに速さ \(1\) で直進する点を考え, 時刻 \(t\) におけるその位置を \(\text{P} {} _ n (t)\) と表すことにする.
(1) ある時刻 \(t\) で \(d( \text{P} {} _ 1 (t) , \text{P} {} _ 2 (t) ) \leqq 1\) が成立した. ベクトル \(\overrightarrow{e _ 1}-\overrightarrow{e _ 2}\) と, ベクトル \(\overrightarrow{a _ 1}\) とのなす角を \(\theta\) とおく. このとき \(| \sin \theta | \leqq \dfrac{1}{1000}\) となることを示せ.
(2) 角度 \(\theta _ 1 , \theta _ 2 , \theta _ 3\) を \(\theta _ 1 = \angle \text{B} {} _ 1 \text{A} {} _ 1 \text{A} {} _ 2\) , \(\theta _ 2 = \angle \text{B} {} _ 2 \text{A} {} _ 2 \text{A} {} _ 3\) , \(\theta _ 3 = \angle \text{B} {} _ 3 \text{A} {} _ 3 \text{A} {} _ 1\) によって定義する. \(\alpha\) を \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) かつ \(\sin \alpha =\dfrac{1}{1000}\) をみたす実数とする. (1) と同じ仮定のもとで, \(\theta _ 1 +\theta _ 2\) の値のとる範囲を \(\alpha\) を用いて表せ.
(3) 時刻 \(t _ 1 , t _ 2 , t _ 3\) のそれぞれにおいて, 次が成立した. \[ d(\text{P} {} _ 2 (t _ 1) , \text{P} {} _ 3 (t _ 1)) \leqq 1 , \quad d(\text{P} {} _ 3 (t _ 2) , \text{P} {} _ 1 (t _ 2)) \leqq 1 , \quad d(\text{P} {} _ 1 (t _ 3) , \text{P} {} _ 2 (t _ 3)) \leqq 1 \] このとき, 時刻 \(T =\dfrac{1000}{\sqrt{3}}\) において同時に \[ d(\text{P} {} _ 1 (T) , \text{O}) \leqq 3 , \quad d(\text{P} {} _ 2 (T) , \text{O}) \leqq 3 , \quad d(\text{P} {} _ 3(T) , \text{O}) \leqq 3 \] が成立することを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(d( \text{P} {} _ 1(t) , \text{P} {} _ 2(t) ) = \left| t \overrightarrow{e _ 1} -\left( \overrightarrow{e _ 2} -t \overrightarrow{a _ 1} \right) \right|\) なので \[\begin{align} & \left| t \overrightarrow{e _ 1} -\left( \overrightarrow{e _ 2} -t \overrightarrow{a _ 1} \right) \right| \\ & \quad = t^2 \left| \overrightarrow{e _ 1} -\overrightarrow{e _ 2} \right|^2 -2t \overrightarrow{a _ 1} \cdot \left( \overrightarrow{e _ 1} - \overrightarrow{e _ 2} \right) +\left| \overrightarrow{a _ 1} \right|^2 \\ & \quad = t^2 \left| \overrightarrow{e _ 1} -\overrightarrow{e _ 2} \left|^2 -2t \right| \overrightarrow{a _ 1} \right| \left| \overrightarrow{e _ 1} - \overrightarrow{e _ 2} \right| \cos \theta +\left| \overrightarrow{a _ 1} \right|^2 \\ & \quad = t^2 \left| \overrightarrow{e _ 1} -\overrightarrow{e _ 2} \left|^2 -2000t \right| \overrightarrow{e _ 1} - \overrightarrow{e _ 2} \right| \cos \theta +1000^2 \leqq 1\\ \text{∴} \quad & t^2 \left| \overrightarrow{e _ 1} -\overrightarrow{e _ 2} \left|^2 -2000t \right| \overrightarrow{e _ 1} - \overrightarrow{e _ 2} \right| \cos \theta +1000^2-1 \leqq 0 \end{align}\] これが実数解 \(t\) をもつので, 判別式 \(D\) について \[\begin{gather} \dfrac{D}{4} = 1000^2 \left| \overrightarrow{e _ 1} -\overrightarrow{e _ 2} \right|^2 \cos^2 \theta -( 1000^2-1 ) \left| \overrightarrow{e _ 1} -\overrightarrow{e _ 2} \right|^2 \geqq 0 \\ 1000^2 \left( 1 -\sin^2 \theta \right) -( 1000^2-1 ) \geqq 0 \\ \sin^2 \theta \leqq \dfrac{1}{1000^2} \\ \text{∴} \quad \underline{\left| \sin \theta \right| \leqq \dfrac{1}{1000}} \end{gather}\]
(2)
\(\overrightarrow{e _ 1} -\overrightarrow{e _ 2}\) と \(\overrightarrow{a _ 1}\) のなす角 \(\theta\) について考えると \[ \left| \dfrac{\theta _ 1 +\left( \dfrac{\pi}{3} -\theta _ 2 \right)}{2} -\theta _ 1 \right| = \left| \dfrac{\pi}{6} -\dfrac{\theta _ 1 +\theta _ 2}{2} \right| \] これと (1) の結果より \[\begin{gather} \left| \dfrac{\pi}{6} -\dfrac{\theta _ 1 +\theta _ 2}{2} \right| \leqq \alpha \\ -2 \alpha \leqq \dfrac{\pi}{3} -\left( \theta _ 1 +\theta _ 2 \right) \leqq 2\alpha \\ \text{∴} \quad \underline{\dfrac{\pi}{3} -2\alpha \leqq \theta _ 1 +\theta _ 2 \leqq \dfrac{\pi}{3} +2\alpha} \end{gather}\]
(3)
(2) の結果を用いれば, \[ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\pi}{3} -2\alpha \leqq \theta _ 1 +\theta _ 2 \leqq \dfrac{\pi}{3} +2\alpha \\ \dfrac{\pi}{3} -2\alpha \leqq \theta _ 2 +\theta _ 3 \leqq \dfrac{\pi}{3} +2\alpha \\ \dfrac{\pi}{3} -2\alpha \leqq \theta _ 3 +\theta _ 1 \leqq \dfrac{\pi}{3} +2\alpha \end{array} \right. \] ここで, \({\theta _ i}' =\theta _ i -\dfrac{\pi}{6}\) （ \(i = 1, 2, 3\) ）とおけば \[ \left\{ \begin{array}{ll} -2\alpha \leqq {\theta _ 1}' +{\theta _ 2}' \leqq 2\alpha & \ \text{...[1]} \\ -2\alpha \leqq {\theta _ 2}' +{\theta _ 3}' \leqq 2\alpha & \ \text{...[2]} \\ -2\alpha \leqq {\theta _ 3}' +{\theta _ 1}' \leqq 2\alpha & \ \text{...[3]} \end{array} \right. \] \([1]+[3]-[2]\) より \[\begin{align} -6 \alpha \leqq 2{\theta _ 1}' & \leqq 6\alpha \\ \text{∴} \quad -3\alpha \leqq {\theta _ 1}' & \leqq 3 \alpha \quad ... [4] \end{align}\] \(\text{OP} {} _ 1 = \text{OA} {} _ 1 = T\) なので \[\begin{align} 0 \leqq d(\text{P} {} _ 1(T) , \text{O}) & = 2T \sin \left| \dfrac{{\theta _ 1}'}{2} \right| \\ & \leqq 2T \sin \dfrac{3\alpha}{2} \quad ( \ \text{∵} \ [4] \ ) \\ & \lt 4T \sin \alpha \cos \alpha \\ & \leqq \dfrac{4}{\sqrt{3}} \cos \alpha \\ & \lt \dfrac{4}{\sqrt{3}} \lt 3 \quad ( \ \text{∵} \ 4^2 \lt 3^3 \ ) \\ \text{∴} \quad & d(\text{P} {} _ 1(T) , \text{O}) \leqq 3 \end{align}\] これと同様にすれば, \[ d(\text{P} {} _ 2(T) , \text{O}) \leqq 3 , \quad d(\text{P} {} _ 3(T) , \text{O}) \leqq 3 \] よって, 題意は示された.