実数 \(x\) の小数部分を, \(0 \leqq y \lt 1\) かつ \(x-y\) が整数となる実数 \(y\) のこととし, これを記号 \(\langle x \rangle\) で表す. 実数 \(a\) に対して, 無限数列 \(\{ a _ n \}\) の各項 \(a _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) を次のように順次定める.
(i) \(a _ 1 = \langle a \rangle\)
(ii) \(\left\{ \begin{array}{ll} a _ {n+1} = \left\langle \dfrac{1}{a _ n} \right\rangle & \left( \ a _ n \neq 0 \ \text{のとき} \ \right) \\ \ a _ {n+1} = 0 & \left( \ a _ n = 0 \ \text{のとき} \ \right) \end{array} \right.\)
(1) \(a = \sqrt{2}\) のとき, 数列 \(\{ a _ n \}\) を求めよ.
(2) 任意の自然数 \(n\) に対して \(a _ n = a\) となるような \(\dfrac{1}{3}\) 以上の実数 \(a\) をすべて求めよ.
(3) \(a\) が有理数であるとする. \(a\) を整数 \(p\) と自然数 \(q\) を用いて \(a = \dfrac{p}{q}\) と表すとき, \(q\) 以上のすべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ n = 0\) であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(1 \lt a \lt 2\) なので \[ a _ 1 = \sqrt{2} -1 \] \(a _ k = \sqrt{2} -1 \quad ( k = 1 , 2 , \cdots )\) と仮定すると, \(\dfrac{1}{\sqrt{2} -1} = \sqrt{2} +1\) であり, \(2 \lt \sqrt{2} +1 \lt 3\) なので \[ a _ {k+1} = \left( \sqrt{2} +1 \right) -2 = \sqrt{2} -1 \] したがって \(n \geqq 1\) のとき \[ a _ n = \underline{\sqrt{2} -1} \]
(2)
条件をみたす \(a\) は, ある負でない整数 \(r\) を用いた以下の式を満たす.
\[\begin{align}
\dfrac{1}{a} & = a+r \\
\text{∴} \quad a^2 +ra -1 & = 0 \quad ... [1]
\end{align}\]
\(\langle a \rangle\) を与える式および \(a \geqq \dfrac{1}{3}\) より
\[\begin{align}
\dfrac{1}{3} & \leqq a \lt 1 \\
\text{∴} \quad 1 & \lt \dfrac{1}{a} \leqq 3
\end{align}\]
したがって整数 \(r\) の候補は, \(r = 0 , 1 , 2\) のみ.
それぞれの場合について, [1] より
1* \(r=0\) のとき \[ a^2 -1 = 0 \\ \text{∴} \quad a = 1 \] なので不適
2* \(r=1\) のとき \[ a^2 +a -1 = 0 \\ \text{∴} \quad a = \dfrac{\sqrt{5} -1}{2} \]
3* \(r=2\) のとき \[ a^2 +2a -1 = 0 \\ \text{∴} \quad a = \sqrt{2} -1 \]
以上より, 求める \(a\) の値は \[ a = \underline{\dfrac{\sqrt{5} -1}{2} , \sqrt{2} -1} \]
(3)
\(a _ 1 = \dfrac{p'}{q} \quad \left( 0 \leqq p' \lt q \right)\) と表せる.
\(a _ n = \dfrac{p _ n}{q _ n}\) とおくと, 自然数 \(k\) について
1* \(a _ k \neq 0\) のとき, [1] より \[ a _ {k+1} = \dfrac{p _ {k+1}}{q _ {k+1}} = \dfrac{q _ k}{p _ k} -r = \dfrac{q _ k -r p _ k}{p _ k} \] したがって \[ p _ {k+1} \lt q _ {k+1} , \quad q _ {k+1} = p _ k \\ \text{∴} \quad p _ k \gt p _ {k+1} \quad ... [2] \]
2* \(a _ k = 0\) のとき, 条件より \[ a _ {k+1} = 0 \quad ... [3] \] [2] より \( p _ k -p _ {k+1} \geqq 1\) であり, \(p _ 1 = p' \lt q\) だから, \(1 \leqq m \leqq q\) を満たす自然数 \(m\) において \[ q \gt p _ 1 \gt p _ 2 \gt \cdots \gt p _ {m-1} \gt p _ m = 0 \] すなわち \(a _ m = 0\) となる.
したがって, [3] より \(n \geqq m\) において \[ a _ n = 0 \]
ゆえに \(n \geqq q\) のとき \(a _ n=0\) となることが示された.