次の連立不等式で定まる座標平面上の領域 \(D\) を考える. \[ x^2 +(y-1)^2 \leqq 1 , \quad x \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{3} \] 直線 \(\ell\) は原点を通り, \(D\) との共通部分が線分となるものとする. その線分の長さ \(L\) の最大値を求めよ. また, \(L\) が最大値をとるとき, \(x\) 軸と \(\ell\) のなす角 \(\theta \quad \left( 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) の余弦 \(\cos \theta\) を求めよ.
【 解 答 】
\(C : \ x^2 +(y-1)^2 = 1\) , \(\ell : \ y =( \tan \theta ) x\) とおく.
\(C\) と \(\ell\) より, これらの交点の \(x\) 座標は
\[\begin{align}
x^2 +\left\{ ( \tan \theta ) x -1 \right\}^2 & = 1 \\
\left( 1 +\tan^2 \theta \right) x^2 -2x \tan \theta & = 0
\end{align}\]
\(x \neq 0\) なので
\[\begin{align}
\text{∴} \quad x & =\dfrac{2 \tan \theta}{1 +\tan^2 \theta} \\
& =2\sin \theta \cos \theta \\
& = \sin 2\theta
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
L & = \sqrt{1 +\tan^2 \theta} \left( \sin 2 \theta -\dfrac{\sqrt{2}}{3} \right) \\
& = 2 \sin \theta -\dfrac{\sqrt{2}}{3 \cos \theta}
\end{align}\]
これを \(f( \theta )\) とおくと
\[\begin{align}
f'( \theta ) & = 2\cos \theta -\dfrac{\sqrt{2} \sin \theta}{3 \cos^2 \theta} \\
& = \dfrac{\sqrt{2} \cos \theta}{3} \left( 3 \sqrt{2} -\dfrac{\sin \theta}{\cos^3 \theta} \right) \\
& = \dfrac{\sqrt{2} \cos \theta}{3} \left\{ 3 \sqrt{2} -\left( 1 +\tan^2 \theta \right) \tan \theta \right\} \\
& = -\dfrac{\sqrt{2} \cos \theta}{3} \left( \tan \theta -\sqrt{2} \right) \left( \tan^2 \theta +\sqrt{2} \tan \theta +3 \right)
\end{align}\]
\(\tan^2 \theta +\sqrt{2} \tan \theta +3 >0\) なので, \(f'( \theta ) =0\) をとくと
\[
\tan \theta =\sqrt{2}
\]
ここで \(\tan \alpha =\sqrt{2} \quad \left( 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) とおくと,
\(f( \theta )\) の増減は下のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccccc} \theta & (0) & \cdots & \alpha & \cdots & \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \hline f'( \theta ) & & + & 0 & - & \\ \hline f( \theta ) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
よって, \(L\) を最大にするとき
\[\begin{align}
\cos \alpha & = \dfrac{1}{\sqrt{1 +\tan^2 \alpha}} =\underline{\dfrac{\sqrt{3}}{3}} , \\
\sin \alpha & = \sqrt{1 -\cos^2 \theta} =\dfrac{\sqrt{6}}{3}
\end{align}\]
また, 最大値は
\[
f( \alpha ) =2 \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{3} -\dfrac{\sqrt{2}}{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} =\underline{\dfrac{\sqrt{6}}{3}}
\]