座標平面上で \(2\) つの不等式 \[ y \geqq \dfrac{1}{2} x^2 , \quad \dfrac{x^2}{4} +4y^2 \leqq \dfrac{1}{8} \] によって定まる領域を \(S\) とする. \(S\) を \(x\) 軸のまわりに回転してできる立体の体積を \(V _ 1\) とし, \(y\) 軸のまわりに回転してできる立体の体積を \(V _ 2\) とする.
(1) \(V _ 1\) と \(V _ 2\) の値を求めよ.
(2) \(\dfrac{V _ 2}{V _ 1}\) の値と \(1\) の大小を比較せよ.
【 解 答 】
(1)
\(C : \ y = \dfrac{1}{2} x^2\) , \(D : \ \dfrac{x^2}{4} +4y^2 = \dfrac{1}{8}\) とおく.
\(2\) 式から, \(C\) と \(D\) の交点の \(y\) 座標は
\[\begin{align}
\dfrac{y}{2} +4y^2 & = \dfrac{1}{8} \\
32y^2+4y-1 & = 0 \\
(4y+1)(8y-1) & =0 \\
\text{∴} \quad y & = \dfrac{1}{8} \quad \left( \text{∵} \ y>0 \right)
\end{align}\]
また, \(x\) 座標は \(C\) の式より
\[
x =\pm \sqrt{2 \cdot \dfrac{1}{8}} =\pm \dfrac{1}{2}
\]
したがって, 領域 \(S\) は下図斜線部（境界も含む）となる.
\(y\) 軸についての対称性から \[\begin{align} V _ 1 & = 2 \pi \displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{2}} \left\{ \left( \dfrac{1}{32} -\dfrac{x^2}{16} \right) -\left( \dfrac{1}{2} x^2 \right)^2 \right\} dx \\ & = \dfrac{\pi}{16} \displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{2}} ( 1 -2 x^2 -8 x^4 ) \, dx \\ & = \dfrac{\pi}{16} \left[ x -\dfrac{2 x^3}{3} -\dfrac{8 x^5}{5} \right] _ 0^{\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{\pi}{64} \left( 2 -\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{5} \right) \\ & =\underline{\dfrac{11 \pi}{480}} \end{align}\] また \[\begin{align} V _ 2 & = \pi \displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{8}} 2y \, dy +\pi \displaystyle\int _ {\frac{1}{8}}^{\frac{\sqrt{2}}{8}} \left( \dfrac{1}{2} -16y^2 \right) \, dy \\ & = \pi \left[ y^2 \right] _ 0^{\frac{1}{8}} +\pi \left[ \dfrac{y}{2} -\dfrac{16 y^3}{3} \right] _ {\frac{1}{8}}^{\frac{\sqrt{2}}{8}} \\ & = \dfrac{\pi}{64} +\pi \left\{ \left( \dfrac{\sqrt{2}}{16} -\dfrac{\sqrt{2}}{48} \right) -\left( \dfrac{1}{16} -\dfrac{1}{96} \right) \right\} \\ & = \dfrac{1}{64} +\dfrac{\sqrt{2} \pi}{24} -\dfrac{5 \pi}{96} \\ & =\underline{\dfrac{8\sqrt{2} -7}{192} \pi} \end{align}\]
(2)
\(1.4 \lt \sqrt{2} \lt 1.5\) であることを用いれば \[\begin{align} \dfrac{V _ 2}{V _ 1} -1 & = \dfrac{40 \sqrt{2} -35}{22} -1 =\dfrac{40 \sqrt{2} -57}{22} \\ & \lt \dfrac{40 \cdot 1.4 -57}{22} = -\dfrac{1}{22} \lt 0 \end{align}\] よって \[ \underline{\dfrac{V _ 2}{V _ 1} \lt 1} \]