行列 \(A =\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) が次の条件 (D) を満たすとする.
- (D) \(A\) の成分 \(a , b , c , d\) は整数である. また, 平面上の \(4\) 点 \((0, 0)\) , \((a, b)\) , \((a+c, b+d)\) , \((c, d)\) は面積 \(1\) の平行四辺形の \(4\) つの頂点をなす.
\(B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) とおく. 次の問いに答えよ.
(1) 行列 \(BA\) と \(B^{-1}A\) も条件 (D) を満たすことを示せ.
(2) \(c=0\) ならば, \(A\) に \(B\) , \(B^{-1}\) のどちらかを左から次々にかけることにより, \(4\) 個の行列 \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) , \(\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) , \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\) , \(\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\) のどれかにできることを示せ.
(3) \(|a| \geqq |c| >0\) とする. \(BA\) , \(B^{-1}A\) の少なくともどちらか一方は, それを \(\left( \begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array} \right)\) とすると \[ |x|+|z| \lt |a|+|c| \] を満たすことを示せ.
【 解 答 】
(1)
平行四辺形の面積は \(|ad-bc|\) と表せるので, 条件 (D) は次の条件 (D') と同じである.
- (D') \(|ad-bc| =1\) （ \(a\) , \(b\) , \(c\) , \(d\) は整数）
\[ BA = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} a+c & b+d \\ c & d \end{array} \right) \] 条件より, \(a+c\) , \(b+d\) も整数であり \[ |(a+c)d -(b+d)c| =|ad-bc| =1 \] よって, \(BA\) も条件 (D) を満たしている. また \[ B^{-1}A =\left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} a-c & b-d \\ c & d \end{array} \right) \] 条件より, \(a-c\) , \(b-d\) も整数であり \[ |(a-c)d -(b-d)c| =|ad-bc| =1 \] よって, \(B^{-1}A\) も条件 (D) を満たしている.
(2)
(1) の結果を繰返し用いれば \[\begin{align} B^n A & = B^{n-1} \left( \begin{array}{cc} a+c & b+d \\ c & d \end{array} \right) \\ & = \cdots = \left( \begin{array}{cc} a+nc & b+nd \\ c & d \end{array} \right) \quad ... [1] \\ B^{-n} A & = B^{-(n-1)} \left( \begin{array}{cc} a-c & b-d \\ c & d \end{array} \right) \\ & = \cdots = \left( \begin{array}{cc} a-nc & b-nd \\ c & d \end{array} \right) \quad ... [2] \end{align}\] \(c=0\) ならば, \(|ad| =1\) なので \[ (a,d) = ( \pm 1 , \pm 1 ) \]
以下のように場合分けして, [1] [2] を用いる.
1* \((a,d) =( \pm 1,1)\) のとき
\(A =\left( \begin{array}{cc} \pm 1 & b \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) なので \[ B^{-b} A =\left( \begin{array}{cc} \pm 1 & b-b \cdot 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} \pm 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \]2* \((a,d) =( \pm 1,-1)\) のとき
\(A =\left( \begin{array}{cc} \pm 1 & b \\ 0 & -1 \end{array} \right)\) なので \[ B^b A =\left( \begin{array}{cc} \pm 1 & b+b \cdot (-1) \\ 0 & -1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} \pm 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \]
よって, 題意は示された.
(3)
\(BA\) について, \(x=a+c\) , \(z=c\) .
\(B^{-1}A\) について, \(x=a-c\) , \(z=c\) .
なので
\[
|a+c|+|c| \lt |a|+|c| \quad \text{または} \quad |a-c|+|c| \lt |a|+|c|
\]
すなわち
\[
|a+c| \lt |a| \quad \text{または} \quad |a-c| \lt |a|
\]
が成立することを示せばよい.
\(a , c\) の正負によって場合分けして考える.
1* \(a \geqq c \gt 0\) のとき \[ |a-c| =a-c \lt a =|a| \]
2* \(a \gt 0 \gt c \geqq -a\) のとき
\(a+c \geqq 0\) なので \[ |a+c| =a+c \lt a =|a| \]3* \(-a \geqq c \gt 0 \gt a\) のとき
\(a+c \leqq 0\) なので \[ |a+c| =-(a+c) \lt -a =|a| \]4* \(0 \gt c \geqq a\) のとき \[ |a-c| =-(a-c) \lt -a =|a| \]
以上より, 題意は示された.