実数 \(a , b\) に対し平面上の点 \(\text{P} {} _ n \ ( x _ n , y _ n )\) を \[\begin{align} ( x _ 0 , y _ 0 ) & = (1,0) \\ ( x _ {n+1} , y _ {n+1} ) & = ( ax _ n -by _ n , bx _ n +ay _ n ) \end{align}\] によって定める. このとき, 次の条件 (i) , (ii) がともに成り立つような \((a,b)\) をすべて求めよ.
(i) \(\text{P} {} _ 0 = \text{P} {} _ 6\)
(ii) \(\text{P} {} _ 0 , \text{P} {} _ 1 , \text{P} {} _ 2 , \text{P} {} _ 3 , \text{P} {} _ 4 , \text{P} {} _ 5\) は相異なる.
【 解 答 】
\(A = \left( \begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array} \right)\) とおくと
\[
\left( \begin{array}{c} x _ {n+1} \\ y _ {n+1} \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x _ {n} \\ y _ {n} \end{array} \right) \quad ... [1]
\]
さらに, \(a = r \cos \theta\) , \(b = r \sin \theta\) （ \(r \geqq 0\) , \(0 \leqq \theta \lt 2 \pi\) ）, 原点中心 \(\theta\) 回転を表す行列を \(R( \theta )\) とおくと
\[
A = r \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) = r R( \theta ) \quad ... [2]
\]
したがって, [1] [2] と回転行列の性質を用いれば
\[
\left( \begin{array}{c} x _ {n} \\ y _ {n} \end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c} x _ {0} \\ y _ {0} \end{array} \right) = r^n R( n \theta ) \left( \begin{array}{c} x _ {0} \\ y _ {0} \end{array} \right)
\]
条件 (i) より
\[\begin{align}
r^6 R( 6 \theta ) \left( \begin{array}{c} x _ {0} \\ y _ {0} \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} x _ {0} \\ y _ {0} \end{array} \right) \\
\text{∴} \quad \left\{ r^6 R( 6 \theta ) -E \right\} & \left( \begin{array}{c} x _ {0} \\ y _ {0} \end{array} \right) = 0
\end{align}\]
\(\left( \begin{array}{c} x _ {0} \\ y _ {0} \end{array} \right) \neq \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)\) なので
\[\begin{align}
r^6 R( 6 \theta ) -E & = O \\
\text{∴} \quad r^6 R( 6 \theta ) & = E
\end{align}\]
したがって, \(E = R(0)\) なので
\[
r = 1 , \ \theta = \dfrac{k \pi}{3} \quad \left( k = 0, 1, \cdots , 5 \right)
\]
条件 (ii) について考えると,
\[
A^m \neq E \quad \left( k = 0, 1, \cdots , 5 \right)
\]
を満たす必要がある.
各 \(k\) の値について
\(k=0\) のとき, \(A=E\) となり不適
\(k=2\) のとき, \(A^3=E\) となり不適
\(k=3\) のとき, \(A^2=E\) となり不適
\(k=4\) のとき, \(A^3=E\) となり不適
したがって, 条件を満たす \(k\) は \[ k = 1 , 5 \] よって, 求める \((a,b)\) の組は \[ (a,b) = \underline{\left( \dfrac{1}{2} , \ \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)} \]