\(a\) を実数とし, \(x \gt 0\) で定義された関数 \(f(x)\) , \(g(x)\) を次のように定める. \[\begin{align} f(x) & = \dfrac{\cos x}{x} \\ g(x) & = \sin x +ax \end{align}\] このとき, \(y = f(x)\) のグラフと \(y = g(x)\) のグラフが \(x \gt 0\) において共有点をちょうど \(3\) つ持つような \(a\) をすべて求めよ.
【 解 答 】
\(f(x) = g(x)\) を変形すると
\[
\dfrac{\cos x}{x^2} -\dfrac{\sin x}{x} = a \quad ... [\text{A}]
\]
なので, [A] の左辺を \(h(x)\) とおいて, \(y = h(x)\) のグラフと直線 \(y=a\) が共有点を \(3\) つ持つための \(a\) の条件を求めればよい.
\(h(x)\) を微分すると
\[\begin{align}
h'(x) & = \dfrac{-x^2 \sin x -2x \cos x}{x^4} -\dfrac{x \cos x -\sin x}{x^2} \\
& = -\dfrac{( x^2+2 ) \cos x}{x^3}
\end{align}\]
なので, \(h'(x) = 0\) をとくと
\[
x = \dfrac{2n-1}{2} \pi \quad \left( n = 1, 2, \cdots \right)
\]
このとき
\[\begin{align}
h \left( \dfrac{2n-1}{2} \pi \right) & = -\dfrac{2}{(2n-1) \pi} \sin \dfrac{2n-1}{2} \pi \\
& = \dfrac{2 (-1)^{n-1}}{(2n-1) \pi}
\end{align}\]
また, 定義域 \(x \gt 0\) での極限を考えると
\(x \rightarrow +\infty\) のとき
\[ h(x) \rightarrow 0 \]\(x \rightarrow +0\) のとき
\(\cos x \rightarrow 1\) , \(\dfrac{\sin x}{x} \rightarrow 1\) なので \[ h(x) \rightarrow \infty \]
以上より, \(x \gt 0\) における \(h(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccccccccc} x & (0) & \cdots & \dfrac{\pi}{2} & \cdots & \dfrac{3 \pi}{2} & \cdots & \dfrac{5 \pi}{2} & \cdots & \dfrac{7 \pi}{2} & \cdots & ( \infty )\\ \hline h'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline h(x) & ( \infty ) & \searrow & -\dfrac{2}{\pi} & \nearrow & \dfrac{2}{3 \pi} & \searrow & -\dfrac{2}{5 \pi} & \nearrow & \dfrac{2}{7 \pi} & \searrow & (0) \end{array} \] したがって, \(y = h(x)\) のグラフは下図のようになる.
よって, 条件をみたす \(a\) の値は \[ \underline{a = -\dfrac{2}{5 \pi} , \, \dfrac{2}{7 \pi} \lt a \lt \dfrac{2}{3 \pi}} \]