A , B の \(2\) 人がいる. 投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ \(\dfrac{1}{2}\) のコインが \(1\) 枚あり, 最初は A がそのコインを持っている. 次の操作を繰り返す.
(i) A がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば A に \(1\) 点を与え, コインは A がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, A はコインを B に渡す.
(ii) B がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば B に \(1\) 点を与え, コインは B がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, B はコインを A に渡す.
そしてA , B のいずれかが \(2\) 点を獲得した時点で, \(2\) 点を獲得した方の勝利とする. たとえば, コインが表, 裏, 表, 表と出た場合, この時点で A は \(1\) 点, B は \(2\) 点を獲得しているので, B の勝利となる.
(1) A , B あわせてちょうど \(n\) 回コインを投げ終えたときに, A の勝利となる確率 \(p _ n\) を求めよ.
(2) \(\sum\limits _ {n=1}^{\infty} p(n)\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
1* \(n=1\) のとき
勝敗がつくことはないので \[ p _ 1 = 0 \]2* \(n=2\) のとき
「表表」と出れば, A が勝つので \[ p _ 2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \]3* \(n=3\) のとき
A が勝つことはないので \[ p _ 3 = 0 \]4* \(n\) が \(4\) 以上の偶数のとき
\(1\) 回目から \(n-1\) 回目までに, 「表」が \(1\) 回, 「裏表」の組が \(\dfrac{n-2}{2}\) 回出て, \(n\) 回目に「表」が出れば, A が勝つので \[ p _ n = \dfrac{n}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = \dfrac{n}{2^{n+1}} \] これは, \(n=2\) のときも満たしている.5* \(n\) が \(4\) 以上の奇数のとき
\(1\) 回目から \(n-1\) 回目までに, 「表」が \(1\) 回, 「裏裏表」の組が \(1\) 回, 「裏表」の組が \(\dfrac{n-5}{2}\) 回出て, \(n\) 回目に「表」が出れば, A が勝つので \[\begin{align} p _ n & = \dfrac{n-1}{2} \cdot \dfrac{n-3}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \\ & = \dfrac{(n-1)(n-3)}{2^{n+2}} \end{align}\] これは, \(n=1, 3\) のときも満たしている.
以上より, 求める確率 \(p _ n\) は \[ p _ n = \underline{\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{n}{2^{n+1}} & \left( n \text{が偶数のとき} \right) \\ \dfrac{(n-1)(n-3)}{2^{n+2}} & \left( n \text{が奇数のとき} \right) \end{array}\right.} \]
(2)
\(S _ n = \sum\limits _ {k=1}^{n} p(k)\) とおく.
1* \(n\) が偶数のとき
\(n = 2m\) （ \(m\) は自然数）とおくと \[\begin{align} S _ {2m} & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m} \left\{ p(2k-1) +p(2k) \right\} \\ & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m} \left\{ \dfrac{(2k-2)(2k-4)}{2^{2k+1}} +\dfrac{2k}{2^{2k+1}} \right\} \\ & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m} \dfrac{2k^2-5k+4}{4^{k}} \quad ...[1] \end{align}\] ここで, すべての自然数 \(k\) について \[ \dfrac{f(k)}{4^{k-1}} -\dfrac{f(k+1)}{4^{k}} = \dfrac{2k^2-5k+4}{4^{k+1}} \quad ...[2] \] を満たす \(x\) の \(2\) 次式 \(f(x) = ax^2+bx+c\) を求める.
[2] に代入して \[\begin{align} 4 ( ak^2+bk+c ) - \left\{ ak^2 +(2a+b) k +a +b +c \right\} & = 2k^2-5k+4 \\ 3a k^2 +(3b-2a)k +(3c-a-b) & = 2k^2-5k+4 \end{align}\] これが \(k\) の恒等式なので, 係数を比較して \[\begin{align} 3a = 2 , \quad 3b-2a & = -5 \quad 3c-a-b = 4 \\ \text{∴} \quad a = \dfrac{2}{3} , \quad b & = -\dfrac{11}{9} , \quad c = \dfrac{31}{27} \end{align}\] [1] に対して, このことを用いれば \[\begin{align} S _ {2m} & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m} \left\{ \dfrac{f(k)}{4^{k-1}} -\dfrac{f(k+1)}{4^{k}} \right\} \\ & = f(1) -\dfrac{f(m+1)}{4^{m}} \end{align}\] ここで \[ f(1) = \dfrac{2}{3} -\dfrac{11}{9} +\dfrac{31}{27} = \dfrac{16}{27} \] また, \(f(m+1)\) は \(m\) の \(2\) 次式なので \[ \displaystyle\lim _ {m \rightarrow \infty} \dfrac{f(m+1)}{4^{m}} = 0 \] したがって, \[ \displaystyle\lim _ {m \rightarrow \infty} S _ {2m} = \dfrac{16}{27} \quad ...[3] \]2* \(n\) が奇数のとき
\(n = 2m-1\) （ \(m\) は自然数）とおくと \[ S _ {2m-1} = S _ {2(m-1)} +p _ {2m-1} \] ここで, [3] より \[ \displaystyle\lim _ {m \rightarrow \infty} S _ {2(m-1)} = \dfrac{16}{27} \] また, \[ \displaystyle\lim _ {m \rightarrow \infty} p _ {2m-1} = \displaystyle\lim _ {m \rightarrow \infty} \dfrac{2m-1}{2^{2m}} = 0 \] なので \[ \displaystyle\lim _ {m \rightarrow \infty} S _ {2m-1} = \dfrac{16}{27} \quad ...[4] \] よって, [3] [4] から \(\displaystyle\lim _ {m \rightarrow \infty} S _ {n}\) は \(n\) の奇偶に関わらず同じ値に収束し \[ \textstyle\sum\limits _ {n=1}^{\infty} p(n) = \displaystyle\lim _ {m \rightarrow \infty} S _ {n} = \underline{\dfrac{16}{27}} \]