次の命題Pを証明したい.
命題P：次の条件 (a) , (b) をともにみたす自然数（ \(1\) 以上の整数） \(A\) が存在する.
(a) \(A\) は連続する \(3\) つの自然数の積である.
(b) \(A\) を \(10\) 進法で表したとき, \(1\) が連続して \(99\) 回以上現れるところがある.
以下の問いに答えよ.
(1) \(y\) を自然数とする. このとき不等式 \[ x^3+3yx^2 \lt (x+y-1)(x+y)(x+y+1) \lt x^3 +(3y+1)x^2 \] が成り立つような正の実数 \(x\) の範囲を求めよ.
(2) 命題Pを証明せよ.
【 解 答 】
(1)
与えられた不等式を [＃] とおく.
[＃] を変形すると
\[\begin{align}
& x^3 +3yx^2 \lt (x+y)^3 -(x+y) \lt x^3 +(3y+1)x^2 \\
& \qquad 0 \lt 3y^2x+y^3-x-y \lt x^2 \\
& \text{∴} \quad \left\{ \begin{array}{ll} (3y^2-1)x+y(y^2-1) \gt 0 & \ ... \text{[A]} \\ x^2-(3y^2-1)x-y(y^2-1) \gt 0 & \ ...\text{[B]} \end{array} \right.
\end{align}\]
したがって, [A] と [B] が成り立つための \(y\) の条件を求めればよい.
- [A] について
\(y\) は自然数なので \[\begin{align} 3y^2-1 \geqq 2 & \gt 0 \quad ...[1] \\ y^3-y = y(y^2-1) & \geqq 0 \quad ...[2] \end{align}\] さらに \(x \gt 0\) なので, [A]は \(y\) によらず常に成立する. - [B] について
判別式を \(D\) とすると \[ D = (3y^2-1)^2+4y(y^2-1) \quad ... [3] \] [1] [2] に注意すれば \[ D \gt 0 \] したがって, [B] をとくと \[ x \lt \dfrac{3y^2-1 -\sqrt{D}}{2} , \dfrac{3y^2-1 +\sqrt{D}}{2} \lt x \] [3] より \(\sqrt{D} \gt 3y^2-1\) であり, さらに \(x \gt 0\) なので \[ x \gt \dfrac{3y^2-1 +\sqrt{D}}{2} \] 以上より, 求める \(x\) の条件は \[ \underline{x \gt \dfrac{3y^2-1 +\sqrt{9y^4+4y^3-6y^2-4y+1}}{2}} \]
(2)
「 \(1\) 」が \(99\) 個, すなわち「 \(111\) 」が \(33\) 個並んでできた自然数を \(3y\) とおく.
すると, \(y\) は「 \(037\) 」が \(33\) 個並んでできた自然数である.
すなわち
\[
y = 37 \cdot 10^{3 \cdot 32} + \cdots + 37 \cdot 10^3 +37 \quad ...[4]
\]
\(10^{97} \lt y \lt 10^{98}\) であり, \(\sqrt{D} \lt 2 (3y^2-1)\) なので
\[
\dfrac{3y^2-1+\sqrt{D}}{2} \lt \dfrac{3 ( 3y^2-1 )}{2} \lt 10^{2 \cdot 99}
\]
したがって, (1) の結果より, \(x = 10^{200}\) ...[5] とおけば \(x\) は [＃] をみたす.
このとき
\[\begin{align}
x^3+3yx^2 & = 10^{600} +3y \cdot 10^{400} \\
& = 1 \underbrace{00 \cdots 0} _ {501 \text{個}} \underbrace{11 \cdots 11} _ {99 \text{個}} \underbrace{00 \cdots 0} _ {200 \text{個}} \\
x^3+(3y+1)x^2 & = 10^{600} +(3y+1) \cdot 10^{400} \\
& = 1 \underbrace{00 \cdots 0} _ {501 \text{個}} \underbrace{11 \cdots 1} _ {98 \text{個}} 2 \underbrace{00 \cdots 0} _ {200 \text{個}}
\end{align}\]
なので, [＃] の中項は下から \(201\) 桁目から \(299\) 桁目に \(1\) が \(99\) 個並んだ数を表す.
したがって, [4] [5] とおいたとき, \(3\) つの連続する自然数の積 \(A = (x+y-1)(x+y)(x+y+1)\) は, 条件 (b) を満たす.
よって, 命題Pは示された.