\(1\) 辺の長さが \(1\) の正方形を底面とする四角柱 OABC-DEFG を考える. \(3\) 点 P , Q , R を, それぞれ辺 AE , 辺 BF , 辺 CG 上に, \(4\) 点 O , P , Q , R が同一平面上にあるようにとる. 四角形 OPQR の面積を \(S\) とおく. また, \(\angle \text{AOP}\) を \(\alpha\) , \(\angle \text{COR}\) を \(\beta\) とおく.
(1) \(S\) を \(\tan \alpha\) と \(\tan \beta\) を用いて表せ.
(2) \(\alpha +\beta = \dfrac{\pi}{4}\) , \(S = \dfrac{7}{6}\) であるとき, \(\tan \alpha +\tan \beta\) の値を求めよ. さらに, \(\alpha \leqq \beta\) のとき, \(\tan \alpha\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
OA , OC , OD がそれぞれ \(x\) 軸, \(y\) 軸, \(z\) 軸となるように空間座標をとる.
条件より
\[
\overrightarrow{\text{OP}} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \tan \alpha \end{array} \right) , \quad \overrightarrow{\text{OQ}} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \tan \beta \end{array} \right)
\]
よって, 求める面積 \(S\) は
\[\begin{align}
S & = \sqrt{\left| \overrightarrow{\text{OP}} \right|^2 \left| \overrightarrow{\text{OQ}} \right|^2 -\left( \overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{OQ}} \right)^2} \\
& = \sqrt{\left( 1 +\tan^2 \alpha \right) \left( 1 +\tan^2 \beta \right) -\left( \tan \alpha \tan \beta \right)^2} \\
& = \underline{\sqrt{1 +\tan^2 \alpha +\tan^2 \beta}}
\end{align}\]
(2)
\(s = \tan \alpha +\tan \beta\) , \(t = \tan \alpha \tan \beta\) とおく.
条件 \(\alpha +\beta = \dfrac{\pi}{4}\) と加法定理より
\[\begin{align}
\dfrac{s}{1-t} & = 1 \\
\text{∴} \quad t & = 1-s \quad ... [1]
\end{align}\]
(1) の結果と条件 \(S =\dfrac{7}{6}\) より
\[\begin{align}
1 +s^2 -2t & = \left( \dfrac{7}{6} \right)^2 \\
36 \left( s^2 +2s -1 \right) & = 49 \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \\
36s^2 +72s -85 & = 0 \\
(6s+17)(6s-5) & = 0 \\
\text{∴} \quad s & = \dfrac{5}{6} \quad ( \ \text{∵} \ s \gt 0 \ )
\end{align}\]
よって
\[
\tan \alpha +\tan \beta = \underline{\dfrac{5}{6}}
\]
[1] より
\[
t = 1 -\dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}
\]
\(\tan \alpha\) と \(\tan \beta\) は, \(X\) についての \(2\) 次方程式 \(X^2 -sX +t = 0\) ... [A] の解である.
[A] をとくと
\[\begin{align}
6 X^2 -5X +1 & = 0 \\
(3X-1)(2X-1) & = 0 \\
\text{∴} \quad X & = \dfrac{1}{3} , \dfrac{1}{2}
\end{align}\]
\(0 \lt \alpha \leqq \beta \lt \dfrac{\pi}{4}\) より, \(\tan \alpha \leqq \tan \beta\) なので
\[
\tan \alpha = \underline{\dfrac{1}{3}}
\]