座標平面の原点を O で表す. 線分 \(y = \sqrt{3} x \quad ( 0 \leqq x \leqq 2 )\) 上の点 P と, 線分 \(y = - \sqrt{3} x \quad ( -2 \leqq x \leqq 0 )\) 上の点 Q が, 線分 OP と線分 OQ の長さの和が \(6\) となるように動く. このとき, 線分 PQ の通過する領域を \(D\) とする.
(1) \(s\) を \(0 \leqq s \leqq 2\) をみたす実数とするとき, 点 \((s,t)\) が \(D\) に入るような \(t\) の範囲を求めよ.
(2) \(D\) を図示せよ.
【 解 答 】
(1)
点 P , Q の \(x\) 座標をそれぞれ \(p , q \quad ( 0 \leqq p \leqq 2 , \ -2 \leqq q \leqq 0 \quad ... [1] )\) とおく.
\(\text{OP} = 2p\) , \(\text{OQ} = -2q\) なので \(p , q\) がみたす条件は
\[\begin{align}
2p -2q & = 6 \\
\text{∴} \quad q & = p-3
\end{align}\]
[1] より
\[\begin{align}
0 & \leqq p \leqq 2 , \quad -2 \leqq p-3 \leqq 0 \\
\text{∴} \quad & 1 \leqq p \leqq 2 \quad ... [2]
\end{align}\]
したがって, 線分 PQ の式は
\[\begin{align}
y & = \dfrac{\sqrt{3} p +\sqrt{3} (p-3)}{3} ( x-p ) +\sqrt{3} p \\
& = \dfrac{2p-3}{\sqrt{3}} (x-p) +\sqrt{3} p \quad \left( p-3 \leqq x \leqq p \right)
\end{align}\]
これが, 点 \(( s , t )\) を通りとすれば
\[\begin{align}
\sqrt{3} t = ( 2p-3 ) ( s-p ) & +3p \\
\text{∴} \quad 2p^2 -2 (s+3) p +3s +\sqrt{3} t & = 0 \quad ... [3]
\end{align}\]
求める \(s , t\) の条件は, \(p\) の \(2\) 次方程式 [3] が, 範囲 [2] つまり \(1 \leqq p \leqq 2\) に解をもつ条件である.
[3] の左辺を \(f(p)\) とおくと
\[\begin{align}
f(1) & = s +\sqrt{3} t -4 \\
f(2) & = -s +\sqrt{3} t -4
\end{align}\]
\(0 \leqq s \leqq 2\) ... [4] なので, \(f(1) \geqq f(2)\) .
\(y = f(p)\) のグラフは, 下に凸で, \(p = \dfrac{s+3}{2}\) を軸にもつ放物線である.
したがって, 求める条件は, [3] の判別式を \(D\) とおけば, 以下の 1* または 2* である.
1* \(f(1) f(2) \leqq 0\)
2* \(f(2) \geqq 0\) , \(1 \leqq \dfrac{s+3}{2} \leqq 2\) , \(D \geqq 0\)
それぞれとくと
1* について
\[\begin{align} \left( s +\sqrt{3} t -4 \right) & \left( -s +\sqrt{3} t -4 \right) \leqq 0 \\ \text{∴} \quad \left( t +\dfrac{\sqrt{3} s}{3} -\dfrac{4 \sqrt{3}}{3} \right) & \left( t -\dfrac{\sqrt{3} s}{3} -\dfrac{4 \sqrt{3}}{3} \right) \leqq 0 \end{align}\]2* について
\(f(2) \geqq 0\) より \[ t \geqq \dfrac{\sqrt{3} s}{3} +\dfrac{4 \sqrt{3}}{3} \] \(1 \leqq \dfrac{s+3}{2} \leqq 2\) より \[ -1 \leqq s \leqq 1 \] ただし, [4] なので \[ 0 \leqq s \leqq 1 \] \(D \geqq 0\) より \[\begin{align} \dfrac{D}{4} & = (s+3)^2 -2 \left( 3s +\sqrt{3} t \right) \geqq 0 \\ & s^2 +9 -2 \sqrt{3} t \geqq 0 \\ \text{∴} \quad & t \geqq \dfrac{\sqrt{3} s^2}{6} +\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \end{align}\] これらの条件に加えて, 線分 PQ は, 領域： \(y \geqq \sqrt{3} x\) にあるので, 求める範囲は下図の斜線部（境界含む）となる.
以上より, 求める条件は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} - \dfrac{\sqrt{3} s}{3} +\dfrac{4 \sqrt{3}}{3} \leqq t \leqq \dfrac{\sqrt{3} s^2}{6} +\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} & \left( 0 \leqq s \lt 1 \text{のとき} \right) \\ \sqrt{3} s \leqq t \leqq \dfrac{\sqrt{3} s}{3} +\dfrac{4 \sqrt{3}}{3} & \left( 1 \leqq s \leqq 2 \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]
(2)
(1) の結果は, \(0 \leqq x \leqq 2\) における線分 PQ の通過領域である.
求める領域 \(D\) は, \(y\) 軸について対称なので, \(D\) は下図斜線部（境界含む）となる.
