正の実数 \(a\) に対して, 座標平面上で次の放物線を考える. \[ C \ : \ y = ax^2 +\dfrac{1 -4a^2}{4a} \] \(a\) が正の実数全体を動くとき, \(C\) の通過する領域を図示せよ.

【 解 答 】

\(C\) の式を変形すると \[\begin{align} 4ay = 4a^2 x^2 +1 & -4a^2 \\ 4 ( x^2 -1 ) a^2 -4y a +1 & = 0 \quad ... [1] \end{align}\] これを \(a\) の方程式とみて, \(a \gt 0\) ... [2] なる解をもつための条件を求めればよい.
[1] の左辺を \(f(a)\) とおく.

1. 1*　\(x^2 -1 = 0\) すなわち \(x = \pm 1\) のとき
   [1] をとくと \[\begin{align} f(a) = -4ya +1 & = 0 \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{1}{4y} \quad ( y \neq 0 ) \end{align}\] これが, [2] をみたすので \[\begin{align} \dfrac{1}{4y} & \gt 0 \\ \text{∴} \quad y & \gt 0 \quad ... [3] \end{align}\]

2. 2*　\(x^2 -1 \lt 0\) すなわち \(-1 \lt x \lt 1\) のとき
   \(f(0) = 1 \gt 0\) なので, [1] はかならず正の解をもつ.

3. 3*　\(x^2 -1 \gt 0\) すなわち \(x \lt -1 , 1 \lt x\) のとき
   求める条件は

   • [1] の判別式 \(D\) について： \[\begin{align} \dfrac{D}{4} = (2y)^2 -4 ( x^2 -1 ) & \geqq 0 \\ \text{∴} \quad x^2 -y^2 & \geqq 1 \quad ... [4] \end{align}\]
   • \(2\) 次関数 \(f(a)\) の軸の位置について： \[\begin{align} \dfrac{x^2 -1}{2y} & \gt 0 \\ \text{∴} \quad y & \gt 0 \quad ... [5] \end{align}\]
   ゆえに, [4] かつ [5] である.

1*～3*より, 求める領域は, 下図斜線部（実線境界含み, 点線境界と○は含まない）.