どの目も出る確率が \(\dfrac{1}{6}\) のさいころを \(1\) つ用意し, 次のように左から順に文字を書く.
さいころを投げ, 出た目が \(1, 2, 3\) のときは文字列 A A を書き, \(4\) のときは文字 B を, \(5\) のときは文字 C を, \(6\) のときは文字 D を書く. さらに繰り返しさいころを投げ, 同じ規則に従って, A A, B, C, D をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば, さいころを \(5\) 回投げ, その出た目が順に \(2, 5, 6, 3, 4\) であったとすると, 得られる文字列は
\[
\text{A A C D A A B}
\]
となる. このとき, 左から \(4\) 番目の文字は D, \(5\) 番目の文字は A である.
(1) \(n\) を正の整数とする. \(n\) 回さいころを投げ, 文字列をつくるとき, 文字列の左から \(n\) 番目の文字が A となる確率を求めよ.
(2) \(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(n\) 回さいころを投げ, 文字列を作るとき, 文字列の左から \(n-1\) 番目の文字が A で, かつ \(n\) 番目の文字が B となる確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
求める確率を \(p _ n\) とおくと \[\begin{align} p _ 1 & = \dfrac{1}{2} , \\ p _ 2 & = \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} \end{align}\] \(n \geqq 3\) のとき, 条件をみたす事象（左から \(n\) 番目が A ）は, 以下の \(2\) つ場合が考えられる.
\(1\) 回目に, \(1, 2, 3\) が出た場合, 次の \(n-2\) 回で, 条件をみたす事象（初めの A A を除いて, 左から \(n-2\) 番目が A ）が起こる.
\(1\) 回目に, \(4, 5, 6\) が出た場合, 残り \(n-1\) 回で, 条件をみたす事象（初めの \(1\) 文字を除いて, 左から \(n-1\) 番目が A ）が起こる.
したがって \[ p _ n = \dfrac{1}{2} p _ {n-1} +\dfrac{1}{2} p _ {n-2} \] これを変形すると \[ p _ n -p _ {n-1} = -\dfrac{1}{2} \left( p _ {n-1} -p _ {n-2} \right) \] ゆえに, 数列 \(\{ p _ n -p _ {n-1} \}\) は, 初項 \(p _ 2 -p _ 1 = \dfrac{1}{4}\) , 公比 \(-\dfrac{1}{2}\) の等比数列なので \[ p _ n -p _ {n-1} = \dfrac{1}{4} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-2} = \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n \] よって \[\begin{align} p _ n & = p _ 1 +\textstyle\sum\limits _ {k=2}^n \left( -\dfrac{1}{2} \right)^k \\ & = \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1 -\left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1}}{1 +\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{6} \left\{ 1 -\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \\ & = \underline{\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{3} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n} \end{align}\]
(2)
求める確率を \(q _ n \ ( n \geqq 2 )\) とおくと \[\begin{align} q _ 2 & = 0 \\ q _ 3 & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12} \end{align}\]
(1) と同様に考えることができるので
\[
q _ n = \dfrac{1}{2} q _ {n-1} +\dfrac{1}{2} q _ {n-2}
\]
以降も, (1) と同様に考える.
数列 \(\{ q _ n -q _ {n-1} \}\) は, 初項 \(q _ 3 -q _ 2 = \dfrac{1}{12}\) , 公比 \(-\dfrac{1}{2}\) の等比数列なので
\[
q _ n -q _ {n-1} = \dfrac{1}{12} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-3} = \dfrac{1}{3} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-1}
\]
よって
\[\begin{align}
q _ n & = q _ 2 +\textstyle\sum\limits _ {k=3}^n \dfrac{1}{3} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{k-1} \\
& = 0 +\dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{1 -\left( -\frac{1}{2} \right)^{n-2}}{1 +\frac{1}{2}} \\
& = \underline{\dfrac{1}{18} \left\{ 1 -\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-2} \right\}}
\end{align}\]