\(m\) を \(2015\) 以下の正の整数とする. \({} _ {2015} \text{C} {} _ m\) が偶数となる最小の \(m\) を求めよ.
【 解 答 】
\[
{} _ {2015} \text{C} {} _ m = \dfrac{2015}{1} \cdot \dfrac{2014}{2} \cdot \cdots \cdot \dfrac{2016 -m}{m}
\]
\(a _ m = \dfrac{2016 -m}{m} \ ( m = 1, 2, \cdots )\) とおけば, \(a _ m\) がはじめて偶数になる \(m\) を求めればよい.
自然数 \(n\) が, \(n = 2^a N \ ( \ N \text{は奇数})\) と表せるとき, \(a\) を素因数 \(2\) の個数とよぶことにする.
\(a _ m\) が偶数になるのは, \(2016 -m\) の素因数 \(2\) の個数が, \(m\) の素因数 \(2\) の個数より大きくなるときである.
\(2016 = 2^5 \cdot 63\) に注意すると, \(1 \leqq m \leqq 31\) のとき, \(m = 2^k N \ ( 0 \leqq k \leqq 4 )\) と表せて
\[
2016 -m = 2^k \underline{\left( 2^{5-k} \cdot 63 -N \right)} _ {[1]}
\]
[1] は奇数なので, このとき, \(2016 -m\) と \(m\) の素因数 \(2\) の個数は等しい.
一方, \(m = 2^5 = 32\) のとき
\[
2016 -32 = 2^5 ( 63 -1 ) = 2^6 \cdot 31
\]
なので, \(2016 -m\) の素因数 \(2\) の個数（ \(6\) 個）が, \(m\) の素因数 \(2\) の個数（ \(5\) 個）より大きくなる.
よって, 求める \(m\) の値は
\[
\underline{32}
\]