複素数 \(a , b, c\) に対して整式 \(f(z) = az^2 +bz +c\) を考える. \(i\) を虚数単位とする.
(1) \(\alpha , \beta , \gamma\) を複素数とする. \(f( 0 ) = \alpha\) , \(f( 1 ) = \beta\) , \(f(i) = \gamma\) が成り立つとき, \(a , b , c\) をそれぞれ \(\alpha , \beta , \gamma\) で表せ.
(2) \(f(0) , f(1) , f(i)\) がいずれも \(1\) 以上 \(2\) 以下の実数であるとき, \(f(2)\) のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} f(0) & = c = \underline{\alpha} \ , \\ f(1) & = a +b +c = \beta \quad ... [1] \ , \\ f(i) & = -a +bi +c = \gamma \quad ... [2] \end{align}\] \([1] +[2]\) より \[\begin{align} ( 1 +i ) b +2c & = \beta +\gamma \\ \text{∴} \quad b & = \dfrac{-2 \alpha +\beta +\gamma}{1+i} \\ & = \underline{( -1 +i ) \alpha +\dfrac{1-i}{2} \beta +\dfrac{1-i}{2} \gamma} \end{align}\] \([1] \times i -[2]\) より \[\begin{align} ( 1 +i ) a +( -1 +i ) \alpha & = \beta i -\gamma \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{(1 -i ) \alpha +\beta i -\gamma}{1 +i} \\ & = \underline{-i \alpha +\dfrac{1 +i}{2} \beta +\dfrac{-1 +i}{2} \gamma} \end{align}\]
(2)
(1) の結果を用いれば \[\begin{align} f(2) & = 4a +2b +c \\ & = -4i \alpha +( 2 +2i ) \beta +( -2 +2i ) \gamma \\ & \qquad +( -2 +2i ) \alpha +( 1 -i ) \beta +( 1 -i ) \gamma +\alpha \\ & = \underline{( -1 -2i ) \alpha} _ {[3]} +\underline{( 3 +i ) \beta} _ {[4]} +\underline{( -1 +i ) \gamma} _ {[5]} \end{align}\] \(1 \leqq \alpha \leqq 2\) , \(1 \leqq \beta \leqq 2\) , \(1 \leqq \gamma \leqq 2\) のとき, [3] ～ [5] それぞれがとりうる範囲は下図となる.
したがって, \([3] +[4]\) がとりうる範囲は下図斜線部（境界含む）.
よって, \([3] +[4] +[5]\) すなわち \(f(2)\) がとりうる範囲は下図斜線部（境界含む）.
