正の実数 \(a , b\) に対し, \(x \gt 0\) で定義された \(2\) つの関数 \(x^a , \ \log bx\) のグラフが \(1\) 点で接するとする.
(1) 接点の座標 \(( s , t )\) を \(a\) を用いて表せ. また, \(b\) を \(a\) の関数として表せ.
(2) \(0 \lt h \lt s\) をみたす \(h\) に対し, 直線 \(x = h\) および \(2\) つの曲線 \(y = x^a , \ y = \log bx\) で囲まれる領域の面積を \(A(h)\) とする. \(\displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} A(h)\) を \(a\) で表せ.
【 解 答 】
(1)
\(2\) つの関数をそれぞれ微分すると \[ y' = a x^{a-1} , \quad y' = \dfrac{1}{x} \] 条件より \[\begin{align} s^a = \log bs & = t \quad ... [1] , \\ a s^{a-1} & = \dfrac{1}{s} \quad ... [2] \end{align}\] [2] より \[\begin{align} s^a & =\dfrac{1}{a} \\ \text{∴} \quad s & = \underline{\dfrac{1}{a^{\frac{1}{a}}}} \end{align}\] これを [1] に代入すれば \[ t = \left( \dfrac{1}{a^{\frac{1}{a}}} \right)^a = \underline{\dfrac{1}{a}} \] また \[ b =\dfrac{e^t}{s} = \underline{(ea)^{\frac{1}{a}}} \]
(2)
与えられた領域は下図斜線部のようになる.
不定積分 \(F(x) = \displaystyle\int \left( x^a -\log bx \right) \, dx\) とおくと \[ A(h) = F(s) -F(h) \] ここで \[\begin{align} F(x) & = \dfrac{x^{a+1}}{a+1} -x \log bx +\displaystyle\int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & = \dfrac{x^{a+1}}{a+1} -x \log bx +x +C \quad ( C \text{は積分定数} ) \end{align}\] したがって \[\begin{align} F(s) & = \dfrac{1}{(a+1) a^{\frac{a+1}{a}}} -\dfrac{1}{a^{\frac{1}{a}}} \cdot \log e^{\frac{1}{a}} +a^{\frac{1}{a}} \\ & = \dfrac{1}{a^{\frac{1}{a}}} \left\{ \dfrac{1}{a(a+1)} -\dfrac{1}{a} +1 \right\} \\ & = \dfrac{a}{(a+1) a^{\frac{1}{a}}} \end{align}\] \(F(h)\) について考えると \[ \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{h^{a+1}}{a+1} +h = 0 \] また, \(h \log bh\) について, \(h = \dfrac{1}{t}\) とおくと \[ \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} h \log bh = \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} -\dfrac{\log bt}{t} = 0 \] したがって, 求める値は \[ \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} A(h) = \underline{\dfrac{a}{(a+1) a^{\frac{1}{a}}}} \]