実数 \(x\) に対し, \(x\) 以上の最小の整数を \(f(x)\) とする. \(a , b\) を正の実数とするとき, 極限 \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} x^c \left( \dfrac{1}{f(ax-7)} -\dfrac{1}{f(bx+3)} \right) \] が収束するような実数 \(c\) の最大値と, そのときの極限値を求めよ.
【 解 答 】
\(D = x^c \left( \dfrac{1}{f(ax-7)} -\dfrac{1}{f(bx+3)} \right)\) とおく.
一般に, \(x \leqq f(x) \lt x+1\) となるので
\[\begin{align}
& \left\{ \begin{array}{l} ax-7 \leqq f(ax-7) \lt ax-6 \\ bx+3 \leqq f(bx+3) \lt bx+4 \end{array} \right. \\
\text{∴} \quad & \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{ax-6} \lt \dfrac{1}{f(ax-7)} \leqq \dfrac{1}{ax-7} \\ \dfrac{1}{bx+4} \lt \dfrac{1}{f(bx+3)} \leqq \dfrac{1}{bx+3} \end{array} \right. \quad ... [1]
\end{align}\]
1* \(a \neq b\) のとき
[1] より \[\begin{align} x^c \left( \dfrac{1}{ax-6} -\dfrac{1}{bx+3} \right) & \lt D \lt x^c \left( \dfrac{1}{ax-7} -\dfrac{1}{bx+4} \right) \\ \text{∴} \quad \dfrac{x^c \{ (b-a)x +9 \}}{(ax-6)(bx+3)} & \lt D \lt \dfrac{x^c \{ (b-a)x +11 \}}{(ax-7)(bx+4)} \quad ... [2] \end{align}\] [2] の第 \(1\) 辺, 第 \(3\) 辺は \(c \leqq 1\) のとき収束する.
特に \(c = 1\) のとき, \(x \rightarrow \infty\) の極限を考えると \[\begin{align} ( \text{第1辺} ) & = \dfrac{b-a +\frac{9}{x}}{\left( a -\frac{6}{x} \right) \left( b -\frac{3}{x} \right)} \rightarrow \dfrac{b-a}{ab} , \\ ( \text{第3辺} ) & = \dfrac{b-a +\frac{11}{x}}{\left( a -\frac{7}{x} \right) \left( b -\frac{4}{x} \right)} \rightarrow \dfrac{b-a}{ab} \end{align}\] ゆえに, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} D = \dfrac{b-a}{ab} \]2* \(a = b\) のとき
\(ax+3 =(ax-7) +10\) なので \[ f(ax+3) = f(ax-7) +10 \] これを用いれば \[ \dfrac{1}{f(ax-7)} -\dfrac{1}{f(ax+3)} = \dfrac{10}{f(ax-7) \left( f(ax-7) +10 \right)} \] したがって \[ \dfrac{10 x^c}{(ax-7)(ax+3)} \leqq D \lt \dfrac{10 x^c}{(ax-6)(ax+4)} \quad ... [3] \] [3] の第 \(1\) 辺, 第 \(3\) 辺は \(c \leqq 2\) のとき収束する.
特に \(c = 2\) のとき, \(x \rightarrow \infty\) の極限を考えると \[\begin{align} ( \text{第1辺} ) & = \dfrac{10}{\left( a -\frac{7}{x} \right) \left( a -\frac{3}{x} \right)} \rightarrow \dfrac{10}{a^2} , \\ ( \text{第3辺} ) & = \dfrac{10}{\left( a -\frac{6}{x} \right) \left( a -\frac{4}{x} \right)} \rightarrow \dfrac{10}{a^2} \end{align}\] ゆえに, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} D = \dfrac{10}{a^2} \]
以上より \[ \underline{\left\{ \begin{array}{lll} \text{最大値} \ c = 1 , \quad & \text{極限値} \ \dfrac{b-a}{ab} \quad & \ ( \ a \neq b \text{のとき} ) \\ \text{最大値} \ c = 2 , \quad & \text{極限値} \ \dfrac{10}{a^2} \quad & \ ( \ a = b \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]