いびつなサイコロがあり, \(1\) から \(6\) までのそれぞれの目が出る確率が \(\dfrac{1}{6}\) とは限らないとする. このサイコロを \(2\) 回ふったとき同じ目が出る確率を \(P\) とし, \(1\) 回目に奇数, \(2\) 回目に偶数の目が出る確率を \(Q\) とする.

1. (1)　\(P \geqq \dfrac{1}{6}\) であることを示せ. また, 等号が成立するための必要十分条件を求めよ.

2. (2)　\(\dfrac{1}{4} \geqq Q \geqq \dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{2} P\) であることを示せ.

【 解 答 】

(1)

\(k \ ( k =1, 2, \cdots , 6 )\) の目が出る確率を \(p _ k\) とおく. \[\begin{align} p _ 1 +p _ 2 & + \cdot +p _ 6 =1 , \\ P = {p _ 1}^2 & +{p _ 2}^2 + \cdots +{p _ 6}^2 \end{align}\] コーシー・シュワルツの不等式より \[\begin{align} ( 1 \cdot p _ 1 +1 \cdot p _ 2 + \cdots +1 \cdot p _ 6 )^2 & \\ \leq ( 1^2 +1^2 + \cdots & + 1^2 ) ( {p _ 1}^2 +{p _ 2}^2 + \cdots +{p _ 6}^2 ) \\ 1 & \leqq 6P \\ \text{∴} \quad P & \geqq \dfrac{1}{6} \end{align}\] 等号成立は, \(p _ 1 =p _ 2 = \cdots =p _ 6 =\dfrac{1}{6}\) のときである.

(2)

奇数の目が出る確率を \(q\) とおくと, \(0 \leqq q \leqq 1\) .
偶数の目が出る確率は \(1-q\) と表せるので \[ Q = q (1-q) = -\left( q-\dfrac{1}{2} \right)^2 +\dfrac{1}{4} \leqq \dfrac{1}{4} \quad ... [1] \] 等号成立は, \(q =\dfrac{1}{2}\) のとき.
次に, (1) の結果を用いれば \[ 3P +2Q -1 \geqq 3 \cdot \dfrac{1}{6} +2Q -1 = 2Q -\dfrac{1}{2} \quad ... [2] \] 等号が成立するとき, \(q = p _ 1+p _ 3+p _ 5 = \dfrac{1}{2}\) なので, [1] より \[\begin{align} [2] & = 2 \cdot \dfrac{1}{4} -1 = 0 \\ \text{∴} \quad Q & \geqq \dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{2} P \end{align}\] よって \[ \dfrac{1}{4} \geqq Q \geqq \dfrac{1}{2} -\dfrac{3}{2} P \]