点 \(P\) から放物線 \(y=\dfrac{1}{2} x^2\) へ \(2\) 本の接線が引けるとき, \(2\) つの接点を \(A , B\) とし, 線分 \(PA , PB\) およびこの放物線で囲まれる図形の面積を \(S\) とする. \(PA , PB\) が直交するときの \(S\) の最小値を求めよ.

【 解 答 】

\(y=\dfrac{1}{2}x^2\) より, \(y'=x\) .
\(A\) の \(x\) 座標を \(a \ ( a \gt 0 )\) とおくと, \(AP\) の傾きは \(a\) なので, \(BP\) の傾きは \(-\dfrac{1}{a}\) であり, \(B\) の \(x\) 座標は \(-\dfrac{1}{a}\) となる.
\(PA , PB\) の式は \[\begin{align} PA : \ y & = a(x-a) +\dfrac{a^2}{2} = ax +\dfrac{a^2}{2} \\ PB : \ y & = -\dfrac{1}{a} \left( x+\dfrac{1}{a} \right) +\dfrac{1}{2a^2} = -\dfrac{x}{a} +\dfrac{1}{2a^2} \end{align}\] したがって,交点 \(P\) について \[\begin{align} ax +\dfrac{a^2}{2} & = -\dfrac{x}{a} +\dfrac{1}{2a^2} \\ \left( a+\dfrac{1}{a} \right) x & = \dfrac{1}{2} \left( a^2+\dfrac{1}{a^2} \right) \\ \text{∴} \quad x & =\dfrac{1}{2} \left( a-\dfrac{1}{a} \right) \\ \text{∴} \quad y & = \dfrac{a}{2} \left( a-\dfrac{1}{a} \right) +\dfrac{a^2}{2} = -\dfrac{1}{2} \end{align}\] なので \[ P \ \left( \dfrac{1}{2} \left( a-\dfrac{1}{a} \right) , -\dfrac{1}{2} \right) \] \(AB\) の中点を \(M\) とおくと, その座標は \[ \left( \dfrac{a-\frac{1}{a}}{2} , \dfrac{\frac{a^2}{2} +\frac{1}{2a^2}}{2} \right) \] すなわち \[ \left( \dfrac{1}{2} \left( a-\dfrac{1}{a} \right) , \dfrac{1}{4} \left( a^2+\dfrac{1}{a^2} \right) \right) \] したがって, 求める面積 \(S\) は, \(\triangle ABP\) の面積を \(S _ 1 , C\) と \(AB\) に囲まれた部分の面積を \(S _ 2\) とおけば, \[ S = S _ 1 -S _ 2 \] ここで \[\begin{align} S _ 1 & = \dfrac{1}{2} \left( a+\dfrac{1}{a} \right) \left\{ \dfrac{1}{4} \left( a^2+\dfrac{1}{a^2} \right) +\dfrac{1}{2} \right\} \\ & = \dfrac{1}{8} \left( a+\dfrac{1}{a} \right)^3 , \\ S _ 2 & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6} \left( a+\dfrac{1}{a} \right)^3 \\ & = \dfrac{1}{12} \left( a+\dfrac{1}{a} \right)^3 \end{align}\] ゆえに, 相加相乗平均の関係を用いれば \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{24} \left( a+\dfrac{1}{a} \right)^3 \\ & \geqq \dfrac{1}{24} \left( 2 \sqrt{ a \cdot \dfrac{1}{a}} \right)^3 = \dfrac{1}{3} \end{align}\] 等号成立は, \(a =\dfrac{1}{a}\) すなわち \(a=1\) のとき.
よって, 求める最小値は \[ \underline{\dfrac{1}{3}} \]