\(f(x) = 1 -\cos x -x \sin x\) とする.
(1) \(0 \lt x \lt \pi\) において, \(f(x) = 0\) は唯一の解を持つことを示せ.
(2) \(J = \displaystyle\int _ 0^{\pi} \left| f(x) \right| \, dx\) とする. (1) の唯一の解を \(\alpha\) とするとき, \(J\) を \(\sin \alpha\) の式で表せ.
(3) (2) で定義された \(J\) と \(\sqrt{2}\) の大小を比較せよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align}
f'(x) & = \sin x -\sin x -x \cos x \\
& = -x \cos x
\end{align}\]
\(f'(x) = 0\) を解くと
\[
x = 0 , \dfrac{\pi}{2}
\]
したがって, \(f(x)\) の増減表は下の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{2} & \cdots & \pi \\ \hline f'(x) & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & 0 & \searrow & 1 -\dfrac{\pi}{2} & \nearrow & 2 \end{array}
\]
したがって, \(f'(x) = 0\) は \(\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi\) に \(1\) つの解をもつ.
ゆえに題意は示された.
(2)
条件より \[\begin{align} 1 -\cos \alpha & -\alpha \sin \alpha = 0 \\ \text{∴} \quad \alpha & = \dfrac{1 -\cos \alpha}{\sin \alpha} \quad ... [1] \end{align}\] また, \(F(x) = \displaystyle\int f(x) \, dx\) とおくと \[\begin{align} F(x) & = x -\sin x +x \cos x -\displaystyle\int \cos x \, dx \\ & = x -2\sin x +x \cos x +C \quad ( C \text{は積分定数} ) \end{align}\] 以上より \[\begin{align} J & = -\displaystyle\int _ 0^{\alpha} f(x) \, dx +\displaystyle\int _ {\alpha}^{\pi} f(x) \, dx \\ & = 2 F( \alpha ) -F(0) -F( \pi ) \\ & = 2 \left( \alpha -2\sin \alpha +\alpha \cos \alpha \right) -0 -( \pi -\pi ) \\ & = 2 \left( \dfrac{1 -\cos \alpha}{\sin \alpha} -2\sin \alpha + \dfrac{1 -\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \cos \alpha \right) \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1 -\cos \alpha -2\sin^2 \alpha +\cos \alpha -\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \\ & = 2 \cdot \dfrac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} \\ & = \underline{2\sin \alpha} \end{align}\]
(3)
\[\begin{align} f \left( \dfrac{3\pi}{4} \right) & = 1 +\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{3\pi}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & = \dfrac{8 +4\sqrt{2} -3\pi \sqrt{2}}{8} \\ & \gt \dfrac{8 +4 \cdot 1.4 -3 \cdot 3 \cdot 1.5}{8} \quad \left( \ \text{∵} \ 1.4 \lt \sqrt{2} \lt 1.5 , \ 3 \lt \pi \right) \\ & = \dfrac{8 +5.6 -13.5}{8} = \dfrac{0.1}{8} \gt 0 \end{align}\] したがって, \(f(x)\) は \(\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi\) において単調増加であり, \(f \left( \dfrac{3\pi}{4} \right) \gt f( \alpha )\) なので \[ \dfrac{3\pi}{4} \gt \alpha \] さらに, \(\sin x\) は \(\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi\) において単調減少であり, \(\dfrac{3\pi}{4} \gt \alpha\) なので \[ \sin \alpha \gt \dfrac{\sqrt{2}}{2} \] よって, (2) の結果を用いれば \[ \underline{J \gt \sqrt{2}} \]