\(1\) から \(n\) までの数字がもれなく一つずつ書かれた \(n\) 枚のカードの束から同時に \(2\) 枚のカードを引く. このとき, 引いたカードの数字のうち小さいほうが \(3\) の倍数である確率を \(p(n)\) とする.
(1) \(p(8)\) を求めよ.
(2) 正の整数 \(k\) に対し, \(p(3k+2)\) を \(k\) で表せ.
【 解 答 】
(2)
カードが \(3k+2\) 枚あるとき, \(2\) 枚を引く方法は
\[
{} _ {3k+2} \text{C} {} _ 2 = \dfrac{1}{2}( 3k+2 )( 3k+1 ) \ \text{通り}
\]
このうち条件をみたす方法は, \(1\) 枚のカードが \(3i \ ( 1 \leqq i \leqq k )\) でもう \(1\) 枚のカードが \(3i+1\) 以上である場合である.
この方法は,
\[\begin{align}
\textstyle\sum\limits _ {i=1}^k \left\{ ( 3k+2 ) -3i \right\} & = k( 3k+2 ) -3 \cdot \dfrac{1}{2} k( k+1 ) \\
& = \dfrac{1}{2} k \left\{ 2( 3k+2 ) -3( k+1 ) \right\} \\
& = \dfrac{1}{2} k ( 3k+1 ) \ \text{通り}
\end{align}\]
ゆえに
\[\begin{align}
p( 3k+2 ) & = \dfrac{\dfrac{1}{2} k ( 3k+1 )}{\dfrac{1}{2}( 3k+2 )( 3k+1 )} \\
& = \underline{\dfrac{k}{3k+2}}
\end{align}\]
(1)
(2) の結果より \[ p(8) = \dfrac{2}{3 \cdot 2+2} = \underline{\dfrac{1}{4}} \]