(1) 辺の長さが \(1\) である正四面体OABCにおいて辺ABの中点をD, 辺OCの中点をEとする. \(2\) つのベクトル \(\overrightarrow{\text{DE}}\) と \(\overrightarrow{\text{AC}}\) との内積を求めよ.
(2) \(1\) から \(6\) までの目がそれぞれ \(\dfrac{1}{6}\) の確率で出るさいころを同時に \(3\) 個投げるとき, 目の積が \(10\) の倍数になる確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\overrightarrow{a} =\overrightarrow{\text{OA}}\) , \(\overrightarrow{b} =\overrightarrow{\text{OB}}\) , \(\overrightarrow{c} =\overrightarrow{\text{OC}}\) とおくと \[\begin{align} \left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right| = \left| \overrightarrow{c} \right| & = 1 ,\\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} & = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} \end{align}\] また \[ \overrightarrow{\text{DE}} = \dfrac{1}{2} \left( \overrightarrow{c} -\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} \right) , \ \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{c} -\overrightarrow{a} \] なので \[\begin{align} \overrightarrow{\text{DE}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} & = \dfrac{1}{2} \left( 1 -\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2} +1 -\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} \right) \\ & =\underline{\dfrac{1}{2}} \end{align}\]
(2)
目の積が \(2\) の倍数になる事象を \(A\) , \(5\) の倍数になる事象を \(B\) とすると \[\begin{align} \text{P} ( \overline{A} ) & = \left( \dfrac{3}{6} \right)^3 =\dfrac{1}{8} , \\ \text{P} ( \overline{B} ) & = \left( \dfrac{5}{6} \right)^3 = \dfrac{125}{216} , \\ \text{P} ( \overline{A \cup B} ) & = \left( \dfrac{2}{6} \right)^3 =\dfrac{1}{27} \end{align}\] よって, 求める確率は \[\begin{align} \text{P}( A \cap B ) & = 1 -\text{P}( \overline{A \cap B} ) \\ & = 1 -\left( \text{P}( \overline{A} ) +\text{P}( \overline{B} ) -\text{P}( \overline{A \cup B} )\right) \\ & = 1 -\dfrac{1}{8} -\dfrac{125}{216} +\dfrac{1}{27} \\ & =\underline{\dfrac{1}{3}} \end{align}\]