\(xyz\) 空間に \(4\) 点 P \((0,0,2)\) , A \((0,2,0)\) , B \((\sqrt{3},-1,0)\) , C \((-\sqrt{3},-1,0)\) をとる. 四面体 PABC の \(x^2+y^2 \geqq 1\) をみたす部分の体積を求めよ.

【 解 答 】

求める体積を \(V\) とおく.
対称性から, 下図斜線部の部分を \(D\) とし, その体積を \(W\) とおけば \[ V = 6W \]

領域 \(D\) の平面 \(y =-t \quad \left( \dfrac{1}{2} \leqq t \leqq 1 \right)\) での切り口は, 下図の長方形 QRST のようになる.

この面積を \(U(t)\) とおく. 各点の座標について \[ \text{Q} \ \left( \sqrt{1-t^2} , -t , 0 \right) , \quad \text{R} \ \left( \sqrt{3} t , -t , 0 \right) \] また, S は PB を \(1 -t : t\) に内分するので \[ \text{S} \ \left( \sqrt{3} (1-t) , -t , 2(1-t) \right) \] したがって \[\begin{align} U(t) & = \left( \sqrt{3} t -\sqrt{1-t^2} \right) \cdot 2(1-t) \\ & = 2\sqrt{3} ( t -t^2 ) -2\sqrt{1-t^2} +2t \sqrt{1-t^2} \end{align}\] これを用いれば \[\begin{align} W & = \displaystyle\int _ {\frac{1}{2}}^1 U(t) \, dt \\ & = 2\sqrt{3} \displaystyle\int _ {\frac{1}{2}}^1 ( t-t^2 ) \, dt -2 \underline{\displaystyle\int _ {\frac{1}{2}}^1 \sqrt{1-t^2} \, dt} _ {[1]} \\ & \qquad -\displaystyle\int _ {\frac{1}{2}}^1 \sqrt{1-t^2} \left( 1-t^2 \right)' \, dt \end{align}\] ここで, [1] は下図斜線部の面積と等しいので

\[\begin{align} [1] & = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{\pi}{3} -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & = \dfrac{\pi}{6} -\dfrac{\sqrt{3}}{8} \end{align}\] ゆえに \[\begin{align} W & = 2\sqrt{3} \left[ \dfrac{t^2}{2} -\dfrac{t^3}{3} \right] _ {\frac{1}{2}}^1 \\ & \qquad -2\left( \dfrac{\pi}{6} -\dfrac{\sqrt{3}}{8} \right) -\left[ \dfrac{2 \left( 1-t^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{3} \right] _ {\frac{1}{2}}^1 \\ & = 2\sqrt{3} \left( \dfrac{1}{6} -\dfrac{1}{12} \right) -\dfrac{\pi}{3} +\dfrac{\sqrt{3}}{4} +\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \\ & = \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} -\dfrac{\pi}{3} \end{align}\] よって, 求める体積は \[ V = 6 \left( \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} -\dfrac{\pi}{3} \right) = \underline{4 \sqrt{3} -2 \pi} \]