(1) \(2\) 次方程式 \(x^2-3x+5 = 0\) の \(2\) つの解 \(\alpha , \beta\) に対し, \({\alpha}^n +{\beta}^n -3^n\) はすべての正の整数 \(n\) について \(5\) の整数倍になることを示せ.
(2) \(6\) 個のさいころを同時に投げるとき, ちょうど \(4\) 種類の目が出る確率を既約分数で表せ.
【 解 答 】
(1)
解と係数の関係より \[ \alpha +\beta = 3 , \ \alpha \beta = 5 \] これを用いて, すべての自然数 \(n\) について
- [P] ... 「 \({\alpha}^n +{\beta}^2 -3^n\) が \(5\) の整数倍である. 」
が成立することを, 数学的帰納法で示す.
1* \(n=1\) のとき \[ \alpha +\beta -3 = 3-3 = 0 \] ゆえに, \(n=1\) のとき [P] は成立する.
2* \(n=2\) のとき \[\begin{align} {\alpha}^2 +{\beta}^2 -3^2 & = ( \alpha +\beta )^2 -2 \alpha \beta -9 \\ & = 3^2 -2 \cdot 5 -9 = -10 \end{align}\] ゆえに, \(n=2\) のとき [P] は成立する.
3* \(n = k , k+1 \ ( k \geqq 1 )\) のときに [P] が成立する, すなわち, 整数 \(L , M\) を用いて \[\begin{align} {\alpha}^k +{\beta}^k -3^k & = 5L \\ {\alpha}^{k+1} +{\beta}^{k+1} -3^{k+1} & = 5M \end{align}\] と表せると仮定する.
このとき \[\begin{align} {\alpha}^{k+2} & +{\beta}^{k+2} -3^{k+2} \\ & = ( \alpha +\beta ) \left( {\alpha}^{k+1} +{\beta}^{k+1} \right) -\alpha \beta \left( {\alpha}^k +{\beta}^k \right) -3^{k+2} \\ & = 3 \left( 5M +3^{k+1} \right) -5 \left( 5L +3^k \right) -3^{k+2} \\ & = 5 \left( 3M -5L -3^k \right) \end{align}\] ゆえに, \(n = k+2\) のときも [P] が成立する.
以上より, すべての自然数 \(n\) について, [P] が成立することが示された.
(2)
さいころの目の出方は全部で \(6^6\) 通りある.
\(4\) 種類の目を A, B, C, D とおくと, \(6\) 個のさいころの目が
1* A が \(3\) 個, B, C, D が \(1\) 個ずつ
2* A, B が \(2\) 個ずつ, C, D が \(1\) 個ずつ
の \(2\) 通りの場合が考えられる.
それぞれが起こる確率を求める.
1* の場合
「 \(4\) 種類の目の選び方」と「選んだ目の \(6\) 個のさいころへの割当て方」に分けて考えると- A の選び方が \(6\) 通り, B ～ D （区別しない）の選び方が \({} _ 5 \text{C} {} _ 3 = 10\) 通り
- A が出るさいころの割当て方が \({} _ 6 \text{C} {} _ 3= 20\) 通り, B ～ D の割当て方が \(3! = 6\) 通り
2* の場合
1* と同様に考えると- A, B （区別しない）の選び方が \({} _ 6 \text{C} {} _ 2 = 15\) 通り, C, D （区別しない）の選び方が \({} _ 4 \text{C} {} _ 2 = 6\) 通り
- A が出るさいころの割当て方が \({} _ 6 \text{C} {} _ 2= 15\) 通り, B が出るさいころの割当て方が \({} _ 4 \text{C} {} _ 2= 6\) 通り, C, D の割当て方が \(2\) 通り