\(2\) 次の正方行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) に対して, \(\mathit{\Delta} (A) = ad-bc\) , \(t(A) = a+d\) と定める.
(1) \(2\) 次の正方行列 \(A , B\) に対して, \(\mathit{\Delta} (AB) = \mathit{\Delta} (A) \mathit{\Delta} (B)\) が成り立つことを示せ.
(2) \(A\) の成分がすべて実数で, \(A^5 = E\) が成り立つとき, \(x = \mathit{\Delta} (A)\) と \(y = t(A)\) の値を求めよ. ただし, \(E\) は \(2\) 次の単位行列とする.
【 解 答 】
(1)
\(B = \left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \right)\) とおくと \[ \mathit{\Delta} (B) = ps -qr \] また \[\begin{align} AB & = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{array} \right) \end{align}\] したがって \[\begin{align} \mathit{\Delta} (AB) & = (ap+br) (cq+ds) -(aq+bs) (cp+dr) \\ & = adps +bcrs -adqr -bcps \\ & = (ad-bc)(ps-qr) \\ & = \mathit{\Delta} (A) \mathit{\Delta} (B) \end{align}\] よって \[ \mathit{\Delta} (AB) = \mathit{\Delta} (A) \mathit{\Delta} (B) \]
(2)
(1) の結果を用いれば, \(A^5 = E \quad ... [1]\) より \[ x^5 = 1 \] \(A\) の成分がすべて実数なので, \(x\) も実数だから \[ x = \underline{1} \] したがって, ケーリー・ハミルトンの定理より \[\begin{align} A^2-yA+E & = O \\ \text{∴} \quad A^2 & = yA-E \end{align}\] これを繰返し用いると \[\begin{align} A^5 & = ( yA-E )^2 A \\ & = y^2 ( yA-E ) A -2y ( yA-E ) -A \\ & = y^3 ( yA-E ) -(3y^2+1) A +2yE \\ & = ( y^4-3y^2+1 ) A -(y^3-2y) E \end{align}\] これを [1] に代入すると \[ ( y^4-3y^2+1 ) A = ( y^3-2y+1 ) E \quad ... [2] \]
1* \(A = kE\) （ \(k\) は実数）のとき
[1] に代入して \[ (k^5-1) E = OE \] \(k\) は実数なので \[ k=1 \] このとき \[ y = 1+1 = 2 \]2* \(A \neq kE\) （ \(k\) は実数）のとき
[2] より \[ \left\{\begin{array}{ll} y^4-3y^2+1 = 0 & \quad ... [3] \\ y^3-2y+1 = 0 & \quad ... [4] \end{array}\right. \] [4] より, \(y^3 = 2y-1\) なので, [3] に代入して \[\begin{align} y ( 2y-1 ) -3y^2+1 & = 0 \\ y^2+y-1 & = 0 \\ \text{∴} \quad y & = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{align}\]
以上より, 求める \(y\) の値は \[ y = \underline{2 , \ \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}} \]