\(k\) を定数とするとき, 方程式 \(e^x-x^e = k\) の異なる正の解の個数を求めよ.
【 解 答 】
\(f(x) = e^x-x^e\) とおいて, \(x \gt 0\) における曲線 \(y = f(x)\) と直線 \(y = k\) の交点の個数を考えればよい.
\(f(x)\) の導関数を順次求めると
\[\begin{align}
f'(x) & = e^x -e x^{e-1} \\
f''(x) & = e^x -e(e-1) x^{e-2}
\end{align}\]
ここで, \(f(x)\) について
\[
\left\{\begin{array}{l} f(0) = e^0 -0^e = 1 \\ f(1) = e^1 -1^e = e-1 \\ f(e) = e^e -e^e = 0 \\ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} f(x) = \infty \end{array}\right. \quad ... [1]
\]
また, \(f'(x)\) について
\[
\left\{\begin{array}{l} f'(0) = e^0 -e \cdot 0^{e-1} = 1 \\ f(1) = e^1 -e \cdot 1^{e-1} = 0 \\ f(e) = e^e -e \cdot e^{e-1} = 0 \\ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} f'(x) = \infty \end{array}\right. \quad ... [2]
\]
[2] より, 「 \(f'(x) = 0\) は少なくとも \(2\) つの正の解をもつ. 」 ... [3]
続いて, \(f''(x)\) に着目し, \(g(x) = e^x\) , \(h(x) = e(e-1) x^{e-2}\) とおく.
\(2 \lt e \lt 3\) であるから, \(y = h(x)\) のグラフは上に凸である.
一方, \(y = g(x)\) のグラフは下に凸なので, \(2\) つのグラフは高々 \(2\) つの交点しかもたない.
1* \(2\) つのグラフの交点が \(1\) つ以下のとき
常に, \(g(x) \geqq h(x)\) すなわち \(f''(x) \geqq 0\) なので, \(f'(x)\) は単調増加し \[ f'(x) \gt f'(0) = 1 \]2* \(2\) つのグラフの交点が \(2\) つのとき
\(2\) つの交点の \(x\) 座標を \(\alpha , \beta\) （ \(\alpha \lt \beta\) ）とおくと, \(f'(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccccc} x & (0) & \cdots & \alpha & \cdots & \beta & \cdots & ( \infty ) \\ \hline f''(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f'(x) & (1) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow & ( \infty ) \end{array} \]
1* 2*より, 「 \(f'(x) = 0\) は高々 \(2\) つの正の解しかもたない. 」 ... [4] [3] [4] より, \(f'(x) = 0\) はちょうど \(2\) つの正の解をもち, [2]より, その解は \[ x = 1 , e \] したがって, [1] とあわせて考えれば, \(f(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccccc} x & (0) & \cdots & 1 & \cdots & e & \cdots & ( \infty ) \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & (1) & \nearrow & e-1 & \searrow & 0 & \nearrow & ( \infty ) \end{array} \] よって, 曲線 \(y = f(x)\) と直線 \(y = k\) の位置関係を考えれば, 求める解の個数は \[ \underline{\left\{\begin{array}{ll} 0 & \left( k \lt 0 \text{のとき} \right) \\ 1 & \left( k = 0 \text{のとき} \right) \\ 2 & \left( 0 \lt k \leqq 1 \text{のとき} \right) \\ 3 & \left( 1 \lt k \lt e-1 \text{のとき} \right) \\ 2 & \left( k = e-1 \text{のとき} \right) \\ 1 & \left( k \gt e-1 \text{のとき} \right) \end{array}\right.} \]