正の整数 \(n\) に対し, \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の範囲において \(\sin 4nx \geqq \sin x\) を満たす \(x\) の区間の長さの総和を \(S _ n\) とする. このとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ.

【 解 答 】

上図より, 与えられた不等式をみたす \(x\) の範囲は, \(0\) 以上の整数 \(k\) を用いて \[\begin{align} x & \leqq 4nx -2k \pi \leqq \pi -x \\ 2k \pi & \leqq (4n-1) x , \ (4n+1) x \leqq (2k+1) \pi \quad ... [1] \end{align}\] ここで \[\begin{align} \dfrac{2k+1}{4n+1} & -\dfrac{2k}{4n-1} \\ & = \dfrac{(2k+1)(4n-1) -2k (4n+1)}{(4n+1)(4n-1)} \\ & = \dfrac{(4n-1)-4k}{(4n+1)(4n-1)} \end{align}\] なので, \(n , k\) がともに整数であることに注意して [1] をとくと \[ \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{2k}{4n-1} \pi \leqq x \leqq \dfrac{2k+1}{4n+1} \pi & \left( 0 \leqq k \leqq n-1 \text{のとき} \right) \\ \text{解なし} & \left( k \geqq n \text{のとき} \right) \end{array}\right. \] このうち, \(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) に含まれるのは, \(0 \leqq k \leqq n-1\) のときである.
したがって \[\begin{align} S _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n-1} \left( \dfrac{2k+1}{4n+1} -\dfrac{2k}{4n-1} \right) \pi \\ & = \dfrac{\pi}{(4n+1)(4n-1)} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{n-1} \left\{ (4n-1)-4k \right\} \\ & = \dfrac{\pi \left\{ n(4n-1) -2 n(n-1) \right\}}{(4n+1)(4n-1)} \\ & = \dfrac{n (2n+1) \pi}{(4n+1)(4n-1)} \\ & = \dfrac{\left(2 +\frac{1}{n} \right) \pi}{\left( 4 +\frac{1}{n} \right) \left( 4 -\frac{1}{n} \right)} \\ & \rightarrow \dfrac{2 \pi}{4 \cdot 4} = \dfrac{\pi}{8} \quad ( n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \end{align}\] よって, 求める値は \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n = \underline{\dfrac{\pi}{8}} \]