\(a , b\) を正の実数とし, 円 \(C _ 1 : \ (x-a)^2+y^2 = a^2\) と楕円 \(C _ 2 : \ x^2+\dfrac{y^2}{b^2} = 1\) を考える.

1. (1)　\(C _ 1\) と \(C _ 2\) に内接するための \(a , b\) の条件を求めよ.

2. (2)　\(b = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) とし, \(C _ 1\) が \(C _ 2\) に内接しているとする. このとき, 第 \(1\) 象限における \(C _ 1\) と \(C _ 2\) の接点の座標を \((p,q)\) を求めよ.

3. (3)　(2) の条件のもとで, \(x \geqq p\) の範囲において, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) で囲まれた部分の面積を求めよ.

【 解 答 】

(1)

下図のように, 円 \(C _ 1\) は中心 \((a,0)\) , 半径 \(a\) であり, 楕円 \(C _ 2\) は原点中心で点 \((1,0)\) と \((0,b)\) を通る.

したがって, \(x \geqq 0 , \ y \geqq 0\) の領域において, \(C _ 1\) が \(C _ 2\) に内接する条件を考えればよい.
\(C _ 2\) 上の点 P \((p,q) \ ( 0 \leqq p \leqq 1 )\) と \(C _ 1\) の中心 A \((a,0)\) との距離の最小値が \(a\) になるような \(a , b\) の条件を考えればよい. \[\begin{align} \text{AP}^2 & = (p-a)^2 +q^2 \\ & = (p-a)^2+b^2(1-p^2) \\ & = (1-b^2)p^2 -2ap +a^2+b^2 \\ & = (1-b^2) \left( p-\dfrac{a}{1-b^2} \right)^2 +a^2 +b^2 -\dfrac{a^2}{1-b^2} \end{align}\] これを \(f(p)\) とおく.

1. 1*　\(b = 1\) のとき
   このとき \[ f(p) = -2ap+a^2+1 \] これは \(p\) の傾きが負である \(1\) 次関数なので, 最小値となりうるのは, \(f(1)\) である. \[\begin{align} f(1) = a^2-2a+1 & = a^2 \\ -2a+1 & = 0 \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{1}{2} \end{align}\]

2. 2*　\(b \gt 1\) のとき
   このとき, \(f(p)\) は上に凸な \(p\) の \(2\) 次関数であり, 放物線の軸： \(p = \dfrac{a}{1-b^2} \lt 0\) なので, 最小値は \(f(1)\) である. \[\begin{align} f(1) = a^2-2a+1 & = a^2 \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{1}{2} \end{align}\]

3. 3*　\(0 \lt b \lt 1\) のとき
   このとき, \(f(p)\) は下に凸な \(p\) の \(2\) 次関数であり, 放物線の軸： \(p = \dfrac{a}{1-b^2} \gt 0\) なので,

   1. (ア)　\(0 \lt \dfrac{a}{1-b^2} \lt 1\) すなわち \(0 \lt a \lt 1-b^2\) ...[1] のとき
      最小値は \(f \left( \dfrac{a}{1-b^2} \right)\) なので \[\begin{align} f \left( \dfrac{a}{1-b^2} \right) = a^2 +b^2 & -\dfrac{a^2}{1-b^2} = a^2 \\ a^2 & = b^2(1-b^2) \\ \text{∴} \quad a & = b \sqrt{1-b^2} \end{align}\] このとき, [1] より \[\begin{align} 0 & \lt b \sqrt{1-b^2} \lt 1-b^2 \\ 0 & \lt b \lt \sqrt{1-b^2} \\ \text{∴} \quad 0 & \lt b^2 \lt 1-b^2 \\ \text{∴} \quad 0 & \lt b \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align}\]
   2. (イ)　\(\dfrac{a}{1-b^2} \geqq 1\) すなわち \(a \geqq 1-b^2\) ...[2] のとき
      最小値は \(f(1)\) なので \[\begin{align} f(1) = a^2-2a+1 & = a^2 \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{1}{2} \end{align}\] このとき, [2] より \[\begin{align} \dfrac{1}{2} & \geqq 1-b^2 \\ \text{∴} \quad b & \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align}\]

以上より, 求める条件は \[ \underline{\left\{\begin{array}{ll} a = b \sqrt{1-b^2} & \left( 0 \lt b \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{のとき} \right) \\ a = \dfrac{1}{2} & \left( b \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{のとき} \right) \end{array}\right.} \]

(2)

\(b = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) のとき, (1) の結果より \[ a = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{1 -\dfrac{1}{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \] なので, 接点の \(x\) 座標 \(p\) は \[ p = \dfrac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{1 -\frac{1}{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \] 接点は, \(C _ 2\) 上の点なので, \(y\) 座標 \(q\) は \[ q = \sqrt{\dfrac{1 -\frac{1}{2}}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{6} \] よって, 接点の座標は \[ \underline{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} , \dfrac{\sqrt{6}}{6} \right)} \]

(3)

面積を求める部分は \(x\) 軸について対称なので, \(y \geqq 0\) の部分について考える.
直線 \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) と \(x\) 軸と \(C _ 1\) , 直線 \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) と \(x\) 軸と \(C _ 2\) に囲まれた部分の面積をそれぞれ \(S _ 1 , S _ 2\) とおくと, 求める面積 \(S\) は \[ S = 2 ( S _ 2 -S _ 1 ) \quad ... [3] \] \(S _ 1\) について, この部分は下図斜線部のようになるので

\[\begin{align} S _ 1 & = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{3} \right)^2 \dfrac{\pi}{3} -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{6} \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{6} \\ &= \dfrac{\pi}{27} -\dfrac{\sqrt{3}}{36} \end{align}\] また \[\begin{align} S _ 2 & = \displaystyle\int _ {\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \sqrt{\dfrac{1-x^2}{3}} \, dx \\ & = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \underline{\displaystyle\int _ {\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx} _ {[4]} \end{align}\] 下線部 [4] は, 下図斜線部の面積を表すので

\[\begin{align} [4] & = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{\pi}{4} -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & = \dfrac{\pi}{8} -\dfrac{1}{4} \end{align}\] したがって \[ S _ 2 = \dfrac{\sqrt{3} \pi}{24} -\dfrac{\sqrt{3}}{12} \] よって, [3] より, 求める面積は \[\begin{align} S & = 2 \left\{ \left( \dfrac{\sqrt{3} \pi}{24} -\dfrac{\sqrt{3}}{12} \right) -\left( \dfrac{\pi}{27} -\dfrac{\sqrt{3}}{36} \right) \right\} \\ & = \underline{\dfrac{9 \sqrt{3} -8}{108} \pi -\dfrac{\sqrt{3}}{9}} \end{align}\]