\( xy\) 平面上の曲線 \(C : \ y = x^3+x^2+1\) を考え, \(C\) 上の点 \((1,3)\) を \(\text{P} {} _ {0}\) とする. \(k = 1 , 2 , 3 , \cdots\) に対して, 点 \( \text{P} {} _ {k-1} \ ( x _ {k-1} , y _ {k-1} )\) における \(C\) の接線と \(C\) の交点のうちで \( \text{P} {} _ {k-1}\) と異なる点を \(\text{P} {} _ k \ ( x _ k , y _ k )\) とする. このとき, \( \text{P} {} _ {k-1}\) と \(\text{P} {} _ k\) を結ぶ線分と \(C\) によって囲まれた部分の面積を \(S _ k\) とする.
(1) \(S _ 1\) を求めよ.
(2) \(x _ k\) を \(k\) を用いて表せ.
(3) \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{\infty} \dfrac{1}{S _ k}\) を求めよ.
【 解 答 】
\(C\) の式より \[ y' = 3x^2 +2x \] 点 \(P {} _ {k-1}\) における \(C\) の接線を \(\ell _ {k}\) とおくと, \(\ell _ {k}\) の式は \[\begin{align} y & = \left( 3 {x _ {k-1}}^2 +2 x _ {k-1} \right) \left( x -x _ {k-1} \right) +{x _ {k-1}}^3 +{x _ {k-1}}^2 +1 \\ & = \left( 3 {x _ {k-1}}^2 +2 x _ {k-1} \right) x -2 {x _ {k-1}}^3 -{x _ {k-1}}^2 +1 \end{align}\] \(C\) と \(\ell _ {k}\) の式から, \(y\) を消去すると \[ x^3 +x^2 +1 = \left( 3 {x _ {k-1}}^2 +2 x _ {k-1} \right) x -2 {x _ {k-1}}^3 -{x _ {k-1}}^2 +1 \\ \left( x -x _ {k-1} \right)^2 \left( x +2x _ {k-1} +1 \right) = 0 \\ \text{∴} \quad x = x _ {k-1} , \ -2x _ {k-1} -1 \] ゆえに \[ x _ k = -2x _ {k-1} -1 \quad ... [1] \] このとき \[\begin{align} \displaystyle\int _ {x _ {k-1}}^{x _ k} & \left( x -x _ {k-1} \right)^2 \left( x -x _ k \right) \, dx \\ & = \displaystyle\int _ {x _ {k-1}}^{x _ k} \left\{ \left( x -x _ {k-1} \right)^3 + \left( x _ k -x _ {k-1} \right) \left( x -x _ k \right)^2 \right\} \, dx \\ & = \left[ \dfrac{1}{4} \left( x -x _ {k-1} \right)^4 + \dfrac{x _ k -x _ {k-1}}{3} \left( x -x _ {k-1} \right)^3 \right] _ {x _ {k-1}}^{x _ k} \\ & = \dfrac{\left( x _ k -x _ {k-1} \right)^4}{12} \gt 0 \end{align}\] なので \[ S _ k = \dfrac{\left( x _ k -x _ {k-1} \right)^4}{12} \quad ... [2] \]
(1)
\(x _ 0 = 1\) なので, [1] より \[ x _ 1 = -2 \cdot 1 -1 = -3 \] したがって, [2] より \[ S _ 1 = \dfrac{( -3-1 )^4}{12} = \underline{\dfrac{64}{3}} \]
(2)
[1] を変形すれば \[ x _ k +\dfrac{1}{3} = -2 \left( x _ {k-1} +\dfrac{1}{3} \right) \] なので, 数列 \(\left\{ x _ k +\dfrac{1}{3} \right\}\) は, 初項 \(x _ 0 +\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}\) , 公比 \(-2\) の等比数列である.すなわち \[ x _ k +\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} (-2)^k \\ \text{∴} \quad x _ k = \underline{\dfrac{(-2)^{k+2} -1}{3}} \]
(3)
(2) の結果と [2] より \[\begin{align} S _ k & = \dfrac{1}{12} \left\{ \dfrac{(-2)^{k+2} -1}{3} -\dfrac{(-2)^{k+1} -1}{3} \right\}^4 \\ & = \dfrac{2^{4(k+1)}}{12} \\ & = \dfrac{2^{4k+2}}{3} \end{align}\] よって \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{\infty} \dfrac{1}{S _ k} & = \dfrac{3}{64} \cdot \dfrac{1}{1 -\frac{1}{16}} \\ & = \dfrac{3}{64} \cdot \dfrac{16}{15} \\ & = \underline{\dfrac{1}{20}} \end{align}\]