数列 \(\{ a _ n \}\) を \[ a _ 1 = 5 , \ a _ {n+1} = \dfrac{4 a _ n -9}{a _ n -2} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. また数列 \(\{ b _ n \}\) を \[ b _ n = \dfrac{a _ 1 +2 a _ 2 +\cdots +n a _ n}{1 +2 +\cdots +n} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] と定める.
(1) 数列 \(\{ a _ n \}\) の一般項を求めよ.
(2) すべての \(n\) に対して, 不等式 \(b _ n \leqq 3 +\dfrac{4}{n+1}\) が成り立つことを示せ.
(3) 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} b _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1) \[ a _ n = \dfrac{6n-1}{2n-1} \quad ... [ \text{A} ] \] であることを, 数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1\) のとき
\[ a _ 1 = \dfrac{5}{1} = 5 \] なので, [A] は成立する.2* \(n = k \ ( k \geqq 1 )\) のとき, [A] が成立する, すなわち
\[ a _ k = \dfrac{6k-1}{2k-1} \] と仮定すると \[\begin{align} a _ {k+1} &= \dfrac{4 a _ k -9}{a _ k -2} \\ & = \dfrac{4(6k-1) -9(2k-1)}{(6k-1) -2(2k-1)} \\ & = \dfrac{6(k+1) -1}{2(k+1) -1} \end{align}\] ゆえに, \(n = k+1\) のとき, [A] が成立する.
よって, すべての自然数 \(n\) について [A] が成立し \[ a _ n = \underline{\dfrac{6n-1}{2n-1}} \]
(2)
\(S _ n = a _ n +2 a _ n +\cdots +n a _ n\) とおいて, 示したい不等式を変形すると
\[\begin{align}
\dfrac{2 S _ n}{n (n+1)} & \leqq 3 +\dfrac{4}{n+1} \\
2 S _ n & \leqq 3n (n+1) +4n \\
\text{∴} \quad 2 S _ n & \leqq 3n^2 +7n \quad ... [ \text{B} ]
\end{align}\]
したがって, [B] が成立することを示せばよい.
数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1\) のとき
\[ 2 S _ 1 = 2 \cdot 5 \leqq 3+7 \] なので, [B] は成立する.2* \(n = k \ ( k \geqq 1 )\) のとき, [B] が成立する, すなわち
\[ 2 S _ k \leqq 3k^2 +7k \] と仮定すると \[\begin{align} 2 S _ {k+1} & = 2 S _ k +2(k+1) a _ {k+1} \\ & \leqq 3k^2 +7k +2(k+1) \left( 3 +\dfrac{2}{2k+1} \right) \\ & = 3k^2 +13k +6 +4 \cdot \dfrac{k+1}{2k+1} \\ & \lt 3k^2 +13k +10 \\ & = 3(k+1)^2 +7(k+1) \end{align}\] ゆえに, \(n = k+1\) のとき, [B] が成立する.
よって, すべての自然数 \(n\) について [B] が成立し, 題意は示された.
(3)
(1) の結果より \[ a _ n = 3 +\dfrac{2}{2n-1} \gt 3 \] なので \[ b _ n \gt \dfrac{3 ( 1 +2 +\cdots +n )}{1 +2 +\cdots +n} = 3 \]
(2) の結果とあわせると \[ 3 \lt b _ n \leqq \underline{3 +\dfrac{4}{n+1}} _ {[1]} \] ここで \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} [1] = 3\) なので \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} b _ n = \underline{3} \]