四面体 OABC において, \(\text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = \text{BC} = 1\) , \(\text{AB} = \text{AC} = x\) とする. 頂点 O から平面 ABC に垂線を下ろし, 平面 ABC との交点を H とする. 頂点 A から平面 OBC に垂線を下ろし, 平面 OBC との交点を H' とする.
(1) \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とし, \(\overrightarrow{\text{OH}} = p \overrightarrow{a} +q \overrightarrow{b} +r \overrightarrow{c}\) , \(\overrightarrow{\text{OH'}} = s \overrightarrow{b} +t \overrightarrow{c}\) と表す. このとき, \(p , q , r\) および \(s , t\) を \(x\) の式で表せ.
(2) 四面体 OABC の体積 \(V\) を \(x\) で表せ. また, \(x\) が変化するときの \(V\) の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
BC の中点を M とおくと, 対称性から, H , H' は平面 OAM 上に存在する.
\(\overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{m} = \dfrac{\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}}{2}\) とおく.
△OAM に着目すれば
\[
\text{OM} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} , \ \text{AM} = \sqrt{x^2 -\dfrac{1}{4}}
\]
なので, 余弦定理より
\[\begin{align}
\cos \angle \text{AOM} & = \dfrac{1 +\frac{3}{4} -\left( x^2 -\frac{1}{4} \right)}{2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \\
& = \dfrac{2 -x^2}{\sqrt{3}}
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
\left| \overrightarrow{a} \right| & = 1 , \ \left| \overrightarrow{m} \right| = \dfrac{\sqrt{3}}{2} , \\
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{m} & = 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2 -x^2}{\sqrt{3}} = 1 -\dfrac{x^2}{2}
\end{align}\]
\(\overrightarrow{\text{OH}} = (1-u) \overrightarrow{a} +u \overrightarrow{m}\) とおけば, \(\text{OH} \perp \text{AM}\) なので
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{OH}} \cdot \overrightarrow{\text{MA}} & = \left\{ (1-u) \overrightarrow{a} +u \overrightarrow{m} \right\} \cdot \left( \overrightarrow{a} -\overrightarrow{m} \right) \\
& = 1-u +(2u-1) \left( 1 -\dfrac{x^2}{2} \right) -\dfrac{3u}{4} \\
& = \dfrac{1}{4} \left\{ 4 -4u +4(2 -x^2) u -2( 2 -x^2 ) -3u \right\} \\
& = \dfrac{1}{4} \left\{ ( 1 -4x^2 ) u +2x^2 \right\} = 0 \\
& \text{∴} \quad u = \dfrac{2x^2}{4x^2 -1}
\end{align}\]
よって
\[\begin{align}
p & = 1-u = \underline{\dfrac{2x^2 -1}{4x^2 -1}} , \\
q & = r = \dfrac{u}{2} = \underline{\dfrac{x^2}{4x^2 -1}}
\end{align}\]
また, \(\overrightarrow{\text{OH'}} = v \overrightarrow{m}\) とおけば, \(\text{AH'} \perp \text{OM}\) なので
\[\begin{align}
\overrightarrow{\text{H'A}} \cdot \overrightarrow{\text{OH'}} & = \left\{ \overrightarrow{a} -v \overrightarrow{m} \right\} \cdot v \overrightarrow{m} \\
& = \left( 1 -\dfrac{x^2}{2} \right) v +\dfrac{3v^2}{4} \\
& = \dfrac{v}{4} \left\{ 3v +2 (2 -x^2) \right\} = 0 \\
& \text{∴} \quad v = \dfrac{2 (x^2 -2)}{3}
\end{align}\]
よって
\[
s = t = \dfrac{v}{2} = \underline{\dfrac{x^2 -2}{3}}
\]
(2) \[ \sin \angle \text{AOM} = \sqrt{1 -\cos^2 \angle \text{AOM}} = \sqrt{1 -\dfrac{(2 -x^2)^2}{3}} \] これを用いれば \[\begin{align} V & = \dfrac{1}{3} \triangle \text{OAM} \cdot \text{BC} \\ & = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{1 -\dfrac{(2 -x^2)^2}{3}} \right) \cdot 1 \\ & = \dfrac{\sqrt{3 -(2 -x^2)^2}}{12} \quad ... [1] \\ & = \underline{\dfrac{\sqrt{-x^4 +4x^2 -1}}{12}} \end{align}\] また, [1] の分子に着目すれば, \(V\) が最大となるのは, \(x = \sqrt{2}\) のときで, 最大値は \[ \underline{\dfrac{\sqrt{3}}{12}} \]