定数 \(c\) に対して行列 \(A\) を \[ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & c \\ 4 & -1 \end{array} \right) \] で定め, 直線 \(y = x+1\) 上の動点 P \(( t-1 , t )\) を \(A\) によって移動した点を Q とする. すなわち, \[ A \left( \begin{array}{c} t-1 \\ t \end{array} \right) \] に対応する点を Q とする. 定点 R とすべての \(t\) の値に対して, △PQR は P を直角の頂点とする直角三角形になるという. 以下の問に答えよ.
(1) 定点 R の座標および定数 \(c\) の値を求めよ.
(2) 三角形 PQR の外接円の面積の最小値と, そのときの \(t\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[ \left( \begin{array}{cc} 1 & c \\ 4 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} t-1 \\ t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (c+1)t-1 \\ 3t-4 \end{array} \right) \] なので \[ \text{Q} \ \left( (c+1)t-1 , 3t-4 \right) \] R \((u,v)\) とおくと \[\begin{align} \overrightarrow{\text{PQ}} & = \left( \begin{array}{c} ct \\ 2t-4 \end{array} \right) \\ \overrightarrow{\text{PR}} & = \left( \begin{array}{c} u-t+1 \\ v-t \end{array} \right) \end{align}\] \(\angle \text{QPR} = 90^{\circ}\) なので \[\begin{align} \overrightarrow{\text{PQ}} \cdot \overrightarrow{\text{PR}} = ct (u-t+1) +(2t-4)(v-t) & = 0 \\ -ct^2 +c(u+1)t -2t^2 +2(v+2)t -4v & = 0 \\ \text{∴} \quad (c+2)t^2 -\{ c(u+1) +2(v+2) \}t +4v & = 0 \end{align}\] これがすべての \(t\) について成立するので, 係数を比較して \[\begin{gather} c+2 = 0 , \ 4v = 0 , \ c(u+1) +2(v+2) = 0 \\ \text{∴} \quad c = \underline{-2} , \ u = 1 , \ v = 0 \end{gather}\] よって, R \(\underline{( 1 , 0 )}\) .
(2)
辺 QR が外接円の直径になるので, QR の長さが最小のとき, 外接円の面積も最小になる.
Q \(( -t-1 , 3t-4 )\) なので
\[\begin{align}
\text{QR}^2 & = (-t-2)^2 +(3t-4)^2 \\
& = t^2 +4t +4 +9t^2 -24t +16 \\
& = 10t^2 -20t +20 \\
& = 10 (t-1)^2 +10 \geqq 10
\end{align}\]
よって, 外接円の面積は, \(t = \underline{1}\) のとき, 最小値
\[
\pi \left( \dfrac{\sqrt{10}}{2} \right)^2 = \underline{\dfrac{5}{2} \pi}
\]