\(a\) を正の定数とする. \(xy\) 座標平面において, 曲線 \(\sqrt{x} +\sqrt{y} = \sqrt{a}\) と, 直線 \(x+y=a\) とで囲まれた部分を D とおく. 以下の問に答えよ.
(1) D の概形を描き, その面積を求めよ.
(2) 直線 \(x+y=a\) を軸として, D を \(1\) 回転してできる図形の体積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\ell : \ x+y=a\) , \(C : \ \sqrt{x} +\sqrt{y} =\sqrt{a}\) とおく.
\(C\) の式より, \(0 \lt x \lt a , \ 0 \lt y \lt a\) であり
\[\begin{align}
y & = \left( \sqrt{a} -\sqrt{x} \right)^2 \\
& = x -2\sqrt{a} \sqrt{x} +a
\end{align}\]
これを微分すると
\[\begin{align}
y' & = 1 -\dfrac{2 \sqrt{a}}{2\sqrt{x}} = -\dfrac{\sqrt{a} -\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \lt 0 , \\
y'' & = \dfrac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} \gt 0
\end{align}\]
なので, \(C\) は \(0 \lt x \lt a\) において, 下に凸で単調減少する曲線である.
さらに
\[
\displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} y' = -\infty , \ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow a-0} y' = 0
\]
であることに注意すれば, D の概形は下図斜線部のようになる.
また, D の面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ 0^a \{ x -( x -2\sqrt{a} \sqrt{x} +a ) \} \, dx \\ & = \left[ 2\sqrt{a} \cdot \dfrac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} -ax \right] _ 0^a \\ & =\underline{\dfrac{a^2}{3}} \end{align}\]
(2)
\(\ell\) 上の点 P \((t,a-t) \ ( 0 \lt t \lt a )\) を中心とする円を底面, 高さ \(\sqrt{2} dt\) の微小な円柱の体積 \(dV\) を考えればよい.
P を通る \(\ell\) に垂直な直線の方程式は
\[
y = x +a- 2t
\]
これと \(C\) との交点を考えると
\[\begin{align}
x +a-2t & = x -2\sqrt{a} \sqrt{x} +a \\
2 \sqrt{a} \sqrt{x} & = 2t \\
\text{∴} \quad x & = \dfrac{t^2}{a}
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
dV & = \left\{ \sqrt{2} \left( t -\dfrac{t^2}{a} \right) \right\}^2 \pi \cdot \sqrt{2} dt \\
& = \dfrac{2 \sqrt{2} \pi}{a^2} ( at-t^2 )^2 dt
\end{align}\]
よって, 求める体積 \(V\) は
\[\begin{align}
V & = \displaystyle\int _ 0^a \dfrac{2 \sqrt{2} \pi}{a^2} ( at-t^2 )^2 \, dt \\
& = \dfrac{2 \sqrt{2} \pi}{a^2} \left[ \dfrac{a^2 t^3}{3} -\dfrac{a t^4}{2} +\dfrac{t^5}{5} \right] _ 0^a \\
& = \dfrac{2 \sqrt{2}}{a^2} \cdot \dfrac{a^5}{30} \\
& = \underline{\dfrac{\sqrt{2} a^3 \pi}{15}}
\end{align}\]