\(n\) 個の球と \(n\) 個の箱がある. 各球を無作為にどれかの箱に入れる. すなわち各球を独立に確率 \(\dfrac{1}{n}\) でどれか \(1\) つの箱に入れるものとする. \(n \geqq 3\) のとき, \(2\) 箱のみが空になる確率を \(p _ n\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) \(p _ 3 , p _ 4\) を求めよ.
(2) \(n \geqq 4\) とする. \(2\) 箱のみが空で, \(1\) 箱に \(3\) 個の球が入り, その他の \((n-3)\) 個のそれぞれに \(1\) 個の球が入る確率 \(q _ n\) を求めよ.
(3) \(n \geqq 5\) に対し, \(p _ n\) を求めよ.
(4) (2) で求めた \(q _ n\) について, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{q _ n}{p _ n}\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(n=3\) の場合
球の入れ方は全部で \(3^3\) 通りある.
\(2\) 箱が空になるのは, \(3\) つの球がすべて \(1\) 箱に入るときで, この方法は \({} _ {3} \text{C} {} _ {3} =3\) 通りある.
よって \[ p _ 3 = \dfrac{3}{3^3} =\underline{\dfrac{1}{9}} \]\(n=4\) の場合
球の入れ方は全部で \(4^4\) 通りある.
\(2\) 箱が空になるのは, \(2\) 箱に \(4\) つの球が分かれて入るときで, この方法は, 箱の選び方が \({} _ {4} \text{C} {} _ {2} =6\) 通り, 球の分け方が \(2^4 -2 =14\) 通りある（すべての球が \(1\) 箱に入る場合を除いた）.
よって \[ p _ 4 = \dfrac{6 \cdot 14}{4^4} = \underline{\dfrac{21}{64}} \]
(2)
球の入れ方は全部で \(n^n\) 通りある.
\(n\) 箱から, 空になる \(2\) 箱と \(3\) 個の球が入る \(1\) 箱の選び方は
\[
{} _ {n} \text{C} {} _ {2} \cdot {} _ {n-2} \text{C} {} _ {1} = \dfrac{n(n-1)(n-2)}{2} \quad \text{通り}
\]
\(n\) 個の球を, 同じ箱に \(3\) 個, 残り \((n-3)\) 個を \((n-3)\) 箱に \(1\) 個ずつ入れる方法は
\[
{} _ {n} \text{C} {} _ {3} \cdot (n-3) ! = \dfrac{n!}{6} \quad \text{通り}
\]
よって
\[
q _ n = \dfrac{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{2} \cdot \dfrac{n!}{6}}{n^n} = \underline{\dfrac{(n-1)(n-2) n!}{12 n^{n-1}}}
\]
(3)
\(2\) 箱が空になり, \(2\) 箱に \(2\) 個ずつ, \((n-4)\) 箱に \(1\) つずつ球が入る確率を \(r _ n\) とおく.
\(n\) 個の箱のうち, 空になる \(2\) 箱, 球が \(2\) 個入る \(2\) 箱の選び方は
\[
{} _ {n} \text{C} {} _ {2} \cdot {} _ {n-2} \text{C} {} _ {2} = \dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4} \quad \text{通り}
\]
\(n\) 個の球を, \(2\) 箱に \(2\) 個ずつ, 残り \((n-4)\) 個を \((n-4)\) 箱に \(1\) 個ずつ入れる方法は
\[
{} _ {n} \text{C} {} _ {2} \cdot {} _ {n-2} \text{C} {} _ {2} \cdot (n-4) ! = \dfrac{n!}{4} \quad \text{通り}
\]
ゆえに
\[\begin{align}
r _ n & = \dfrac{\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4} \cdot \dfrac{n!}{4}}{n^n} \\
& = \dfrac{(n-1)(n-2)(n-3) n!}{16 n^{n-1}}
\end{align}\]
よって, (2) の結果も用いれば
\[\begin{align}
p _ n & = q _ n+r _ n \\
& = \dfrac{(n-1)(n-2) \left\{ 4+3(n-3) \right\} n!}{48 n^{n-1}} \\
& = \underline{\dfrac{(n-1)(n-2)(3n-5) n!}{48 n^{n-1}}}
\end{align}\]
(4)
(2) , (3) の結果より \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{q _ n}{p _ n} = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{4}{3n-5} = \underline{0} \]